通过分类来认识图形是数学中惯用的方法。一般说来，分类离不开曲线在变换下的不变性质和不变量，与变换群密切相关。

一、二次曲线的度量分类

这个分类是根据上面已经证明过的正交变换下的不变式 和半不变式 得到的

设二次曲线的一般方程为             eq \o\ac(○,1)1

其中 不全为零。

经过坐标轴的旋转，消去 项，将方程 eq \o\ac(○,1)1化为

              eq \o\ac(○,2)2

其中 不同时为零

不变式为

，      即

（1）当 时， 从而 都不为零。经坐标平移可将 eq \o\ac(○,2)2化为

                     eq \o\ac(○,3)3

这时 和 的形式未变，而

下面来看一看不变式在曲线分类时所起的作用。

1） ，则 ，

即 ，

方程 eq \o\ac(○,3)3中 符号相同，方程 eq \o\ac(○,1)1称为椭圆型。

当 与 反号时，方程为椭圆；当 与 同号时，方程 eq \o\ac(○,1)1为虚椭圆；当 时方程 eq \o\ac(○,1)1为点椭圆，即椭圆退缩成一点。

2） ，则 ，

即 ，

方程 eq \o\ac(○,3)3中 符号相反，方程 eq \o\ac(○,1)1为双曲线型

若 ，则 ，方程 eq \o\ac(○,1)1为双曲线，若 ，则 ，方程 eq \o\ac(○,1)1为两条相交直线。

（2）当 时，则 ，

即 ，

故 或 有一个为零，方程 eq \o\ac(○,1)1为抛物线型

1）若 ，

此时

当 时， 。经过坐标轴平移，方程 eq \o\ac(○,2)2可化为

式                 eq \o\ac(○,4)4

不变式为

且 ，

这时方程为抛物线。

当 时， ，方程 eq \o\ac(○,2)2可化为

                      eq \o\ac(○,5)5

此时进行移轴变换，方程 eq \o\ac(○,5)5变为

              eq \o\ac(○,6)6

此时半不变量 时，

若 ，方程 eq \o\ac(○,6)6有两个不同的实数解， eq \o\ac(○,1)1为两条平行直线。

若 ，方程 eq \o\ac(○,6)6有两个相同的实数解， eq \o\ac(○,1)1为两条重合的直线。

若 ，方程 eq \o\ac(○,6)6没有实数解， eq \o\ac(○,1)1为两条虚实线，或说没有轨迹。

2）若 ，

此时

当 时， 。经过坐标轴平移，方程 eq \o\ac(○,2)2可化为

式                eq \o\ac(○,7)7

不变式为

且 ，

这时方程为抛物线。

当 时， ，方程 eq \o\ac(○,2)2可化为

                     

进行移轴变换，方程（8）变为：

此时半不变量 ，

若 ，方程（9）有两个不同的实数解， eq \o\ac(○,1)1为两条平行直线。

若 ，方程（9）有两个相同的实数解， eq \o\ac(○,1)1为两条重合的直线。

若 ，方程（9）没有实数解， eq \o\ac(○,1)1为两条虚实线，或说没有轨迹。

这就是根据二次曲线方程的不变式对二次曲线进行的分类。这种分类并不把二次曲线分成等价类。如果对椭圆型不区分圆和椭圆。上述分类就是一个仿射分类；如果区分圆和椭圆为两类才是度量分类。

在解析几何里，可用离心率来划分常态二次曲线的类型。

曲线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离之比，称为曲线的离心率，记作 。

对于有心二次曲线（椭圆、圆、双曲线）来说，离心率也是焦距（两焦点间的距离）和长轴或实轴之比。设焦距为 ，椭圆的长轴或双曲线的实轴长为 ，则 。

对于椭圆， ，有 （ 为短半轴长）

对于双曲线， ，有 （ 为虚半轴长）

对于抛物线，

对于圆， 。实际上，如果把椭圆长轴固定，改变焦距使两个焦点无限靠近。以至于两者重合，则焦距 。因为 ，故 ，椭圆就变成了圆了。因此规定圆的离心率为 （焦点为圆心，准线为无穷远直线）。

根据离心率可将常态的二次曲线划分成四大类，即椭圆类、双曲线类、抛物线类各圆类。

二次曲线的离心率不仅是正交变换群下的不变量，也是相似变换群下的不变量。

因为相似变换把一个曲线 的焦点和准线变成其对应曲线的焦点和准线，并且保持曲线上的点到焦点和准线的距离不变，即保持离心率不变。

因此离心率相等的二次曲线 都是相似的

例如：椭圆（或双曲线）经过相似变换，无非使焦距 和长轴（或实轴） 按同比例伸长或缩短，同时使椭圆（或双曲线）按同一比例放大或缩小，成为相似形。

所有圆都相似。

所有抛物线的离心率都是1，所以所有的抛物线都相似。

离心率大小，可以将常态的二次曲线划分成相似变换群下的无数个等价类：每个确定的 值决定一个等价类。类里的曲线都是相似的。

 

二、二次曲线的仿射分类

中学解析几何中，通过不变式将二次曲线分成三大类，这种分法也是仿射变换下的分类。

回顾：平面到另一个平面平行投影也称透视仿射对应。

仿射变换是有限次透视仿射对应的乘积。

在仿射变换下虽然不保持二次曲线在正交变换下的不变式 的值不变，但可以保持 的符号不变，即 变成 ， 变成 ， 变成 ；对于 而言 变成 ， 变成 ，即把常态的二次曲线仍变成常态的二次曲线，退化的仍变成退化的。

据 可将二次曲线分成如下三个类型的等价类：

椭圆型 或

双曲线型 或

抛物线型 或

其中 为常态的， 为变态的，包括两相交直线，两平行直线，两重合直线，一点对。

仿射分类也可通过二次曲线与无穷远直线的交点个数进行分类

椭圆型：与无穷远直线没有实交点的二次曲线的全体

双曲线线型：与无穷远直线有两相个实交点的二次曲线的全体

抛物线型：与无穷远直线有一个实交点的二次曲线的全体

事实上，设二次曲线的齐次坐标方程为：

                         eq \o\ac(○,1)1

无穷远直线方程为：

                            eq \o\ac(○,2)2

解方程组 eq \o\ac(○,1)1、 eq \o\ac(○,2)2求交点

将 eq \o\ac(○,2)2代入 eq \o\ac(○,1)1得

令 ，求二次方程 eq \o\ac(○,3)3

的根，得

如果曲线为椭圆型，则 ，方程 eq \o\ac(○,3)3有二虚根，即无穷远直线与曲线没有实交点；反过来方程 eq \o\ac(○,3)3有二虚根时， ，曲线为椭圆型。

如果曲线为双曲线型，则 ，方程 eq \o\ac(○,3)3有二实根，即无穷远直线与曲线交于二实点，齐次坐标为 和 ；反过来 eq \o\ac(○,3)3有二实根时， ，曲线为双曲线型

如果曲线为抛物线型，则， 方程 eq \o\ac(○,3)3有二相等实根，齐次坐标为 ，即无穷远直线与曲线交于一点；反过来，方程 eq \o\ac(○,3)3有一虚根时， ，曲线为抛物线型。

双曲线在无穷远处交于两点，或封闭的曲线。这从双典线与它的渐近线的关系可以直观地看出

如图所示

渐近线 在无穷远处与双曲线一支交于无穷远点 ，与另一支交于无穷远点 ，由于直线 有惟一无穷远点，故 和 是同一点

同理 与 也是同一个点。