本章概述

将几何图形按着某种规律或法则变成另一种几何图形的过程叫做几何变换。讨论各种几何变换下图形的不变性质与不变量，并用之解释或证明几何问题是几何变换理论的核心。本章简要介绍了德国数学家克莱因提出的“变换群与几何学”的观点，并用之来解释和研究初等几何学中的一些问题。

 

课前提问

1、平面上的平移变换定义?

2、平面上绕一点的旋转变换的定义？

3、平面上的相似变换的定义？相似变换与位似变换的关系？

4、平面上向着一条直线的伸缩变换的定义？一个圆在向着它的一条对称轴的压缩变换下，变成什么图形？

5、你能例举几个竞赛数学中常用的平面几何定理吗？你能说明这些定理分别是解决哪类问题常用的工具？

 

学习目标

1、掌握直线间平行射影的定义和性质；

2、掌握直线间中心射影的定义和性质；

3、掌握平面间平行射影的定义和性质；

4、掌握平面间中心射影的定义和性质；

5、掌握数学竞赛中常用的平面几何（如梅内劳斯定理、塞瓦定理、帕普斯定理、代沙格定理等）定理的射影几何证法；

6、掌握平面上点变换的定义和性质；

7、掌握正交变换的定义和正交变换下的不变性质与不变量；

8、掌握相似变换的定义和相似变换下的不变性质与不变量；

9、掌握仿射变换的定义和仿射变换下的不变性质与不变量；

10、掌握射影变换的定义和射影变换下的不变性质与不变量；

11、掌握移轴变换、旋转变换的变换公式；

12、掌握二次曲线的射影定义；

13、了解二次曲线在坐标变换下的有哪些不变量、半不变量；

14、掌握用不变量或半不变量对二次曲线进行简化。