矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算。我们知道有限个矢量通过线性运算，它的结果仍然是一个矢量。

定义1  由矢量 与数量 所组成的矢量

称为矢量 的线性组合。

当矢量 是矢量 的线性组合时，我们也说矢量 可以用矢量 线性表示，或者说，矢量 可以分解成矢量 的线性组合。

我们约定，只有一个矢量与数量结合的情况， 也称它为矢量 的线性组合。

定理1  如果矢量 , 那么矢量 与矢量 共线的充要条件是 可以用矢量 线性表示，或者说 是 的线性组合，即

,                   (1.4−1)

并且系数 被 唯一确定。 这时 称为用线性组合来表示共线矢量的基底。

证  如果 (1.4−1) 成立，即有 , 那么 与 共线。

反过来，如果 与非零矢量 共线，那么一定存在实数 ，使得 （见上一节中(1.3-5)的证明）。 显然如果 ，则 ,即 。

最后证明 (1.4−1) 中的 是唯一的。

如果 , 那么 , 而 , 所以 .

定理2   如果矢量 不共线，那么矢量 与 共面的充要条件是 可以用矢量 线性表示，或者说矢量 可以分解成 时的线性组合，即

,                                 (1.4−2)

并且系数 被 唯一确定。这时 称为用线性组合来表示共面矢量组的基底。

证  首先，因为矢量 与 不共线，所以 , 。设 和 共面，如果 和 （或 ）共线，那么根据定理1，有 , 其中 （或 ）, 如果 和 都不共线，把它们归结到共同的始点 , 并设 ， ,

那么经过 的终点 分别作 的平行线依次与射线 交于 ( 图1－17 ). 因为 ，根据定理1,可设 ,

所以根据矢量加法的平行四边形法则得 , 即

.

     反过来，设 , 如果 有一是零，例如 ,

那么 与 共线，因此它与 共面。

    如果 , 那么 , 从两矢量相加的平行四形法则可知 与 与 共面，因此 与 共面。

  最后证明 由 唯一确定。

因为如果 , 那么 , 如果 , 那么 , 将有 , 这与定理假设矛盾，所以 . 同理， , 因此 被唯一确定。

定理3  如果矢量 不共面，那么空间任意矢量 可以由矢量 线性表示，或者说空间任意矢量 可以分解成矢量 的线性组合，即

              ,                            (1.4-3)

并且其中系数 被 唯一确定。

    这时称 为用线性组合来表示空间矢量的基底。

证   首先因为 不共面，所以 ，且它们两两不共线。

      如果 和 之中两个矢量共面，那么根据定理1.4.2 立即可知（1.4-3）成立，例如 和 共面，那么有 。

如果 和 之中任何两个矢量都不共面，将矢量 和  归结到共同的始点 ，并设 ，过 的终点 作三平面分别与平面 平行，且分别和直线 相交于 三点，因

此作成了以 为棱， 为对角线的平行六面体（图 1－18），于是得到：

         ，

又根据定理1，可设 , 所以得到

          

  下面证明系数 由 唯一确定。

    如果  ,

    那么  

    如果                  

    那么  

    根据定理2可知 共面，这与定理假设矛盾，所以有 。

   同理， ，因此 被唯一确定。

例 1  已知三角形 , 其中 , 而 分别是三角形两边 上的点，且有 , ,设 与 相交于点 图（1－19），试把矢量 分解成 的线性组合。

 

解  因为 , 或

而     , ,

        

所以    ,    (1)

或             (2)

因此 不共线，所以根据定理2，由(1),(2)得：

 

解得：

所以得： ,

即    

例 2   证明四面体对边中点的连线交与一点，且互相平分。

证  设四面体 一组对边 的中点分别为  ，线段 的中点为 （图1－20），其余二组对边中点连线的中点分别为 , 下面只要证明 三点重合就可以了。

记 。

连接 ，因为 是 的中线，所以 ,

又因为 是 的中线，所以 ,

而          ,

从而得    ,

同理可得    

所以      ,

从而知三点 重合，命题得证。

我们还可以把矢量的线性组合的概念加以扩充，引进线性相关和线性无关的概念。

定义2  对于 n(n≥1) 个矢量 , 如果存在不全为零的 n 个实数 使得      ,          (1.4−4)

那么矢量  称为线性相关，否则称为线性无关。 换句话说，矢量 称为线性无关的是指只有  时， (1.4−4) 才成立。

推论1  一个矢量 线性相关的充要条件为 。

定理4  在 n≥2 时，矢量 线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合。

证 一方面，设 线性相关，那么（1.4－4）成立，且  中至少有一个不等于 ，不妨设 , 那么 可以写成 的线性组合

      

     反过来，不妨设 中有一个矢量 ,它是其余矢量的线性组合，即

        ,

改写一下，就有

        

因为数  不全为0， 所以 线性相关。

定理5  如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关。

证   设有一组矢量 , 其中一部分比如说 线性相关，即有不全为零的数   使得    ,

由上式显然有

    ,

因为 中至少有一不等于0，所以  线性相关。

推论2  一组矢量如果含有零矢量，那么这组矢量间必线性相关。

利用矢量间的线性相关的概念，可以把矢量间的共线与共面的条件推广到更一般的形式。

定理6   两矢量共线的充要条件是它们线性相关。

证  设两矢量为 与 ，如果它们线性相关，那么有 ,

并且 不全为零，不妨设 , 从而得 。

如果 , 据定理1知 与 共线；如果 , 显然 与 共线。

        反过来，设 与 共线，如果 , 那么据定理1知 ,

即      , 所以 与 线性相关；如果 , 那么由推论2知， 与 线性相关。

 

     这个定理告诉我们，如果要判别两矢量 与 共线，只要判别是否存在不全为零得两个数 ，使得         .                  (1.4−5)

    类似地，读者自己可以证明下面的定理。

定理7   三矢量共面的充要条件是它们线性相关。

按照这个定理，要判别三个矢量 是否共面，只要判别 是否存在不全为零的三个数 , 使得                                (1.4−6)

     对于空间的任何四个或四个以上的矢量，我们有下面的定理与推论。

定理8  空间任何四个矢量总是线性相关。

证   设四矢量为 , 如果 共面，那么根据定理7 它们线性相关。再根据定理5，即知所说四个矢量线性相关；如果 不共面，由定理3可设 , 根据定理4知  线性相关。

    由本定理结合定理1.4.5立即可得：

推论3  空间四个以上矢量总是线性相关。

例 3  设 , 试证 三点共线的充要条件是存在不全为零的实数 使得        , 且 .

证  设 三点共线，那么 两矢量共线，因此两矢量 与 线性相关，所以存在不全为零的实数  ，使得  成立，

    即         ,

    由此得         ,

    令 , 则 不全为零，

且   , 且   .

反过来，设有不全为0的数 使得 , 且  . 根据条件不妨设 , 代入上面矢量等式整理得          

即         ,

但由 知 不全为零，所以 共线，

也就是 三点共线。

例 4  设 为两不共线矢量，证明矢量 , 共线的充要条件是

.

 

证 根据定理6， 两矢量共线的充要条件是存在不全为零的数 使得

                ,

    即      ,

    因为 为不共线的矢量，也就是两矢量 线性无关。

    所以 ,  

    又因为 不全为零，从而得矢量 与 共线的充要条件为

.