在空间任意取定点 ，从 引出三个不共面的矢量 ,那么空间任何矢量 都可以分解成 的线性组合

 ,                        (1)

并且这里的 是唯一的一组有序实数。

定义1 空间中的一个定点 ，连同三个不共面的有序矢量 的全体，称为空间的一个标架，记做 。 若 都是单位矢量，则  称为笛卡儿标架；若 都是单位矢量，且 两两相互垂直，则 称为笛卡儿直角标架，简称直角标架；在一般的情况下， 称为仿射标架。

     对于标架 ，如果 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这个标架称为右旋标架或右手标架。如果 的相互关系和左手拇指、食指、中指相同，那么这个标架称为左旋标架或左手标架。（图1-22）

定义2  称（1）式中的 为矢量 关于标架 的分量或称为坐标，记做 或 。

定义3  空间中取定标架 ，对于空间中任意点 ，矢量 称为点 的矢径，矢径 关于标架 的分量 称为点 关于标架 的坐标，记做 或 。

     当空间取定标架 之后，空间全体矢量的集合（或者全体点的集合）与全体有序三数组 的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系称为空间矢量或点的一个坐标系。

由于空间坐标系由标架 完全决定，因此空间坐标系也常用标架 来表示，这时点 称为坐标原点；矢量 都称为坐标矢量。

由右旋标架决定的坐标系称为右旋坐标系或称右手坐标系, 由左旋标架决定的坐标系称为左旋坐标系或称左手坐标系;仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别称为仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系。

     我们特别约定,以后用到直角坐标系时,坐标矢量用 表示,即用 表示直角坐标系,我们以后在讨论空间问题时,所采用的坐标系,一般都是空间右手直角坐标系。

过点 沿着三坐标矢量 的方向引三轴 , 这样我们也可以用这三条具有公共点 的不共面的轴 与 来表示空间坐标系,并把它记做 , 这时点 称为空间坐标系的坐标原点，三条轴 与 都称为坐标轴，并依次称为 轴, 轴与 轴。每两条坐标轴所决定的平面称为坐标面，按照坐标面所包含的坐标轴, 分别称为 平面, 平面与 平面。

   三个坐标平面把空间划分成八个区域,每一个区域都称为卦限，如图1-23中的八个区域，按排列顺序 , 依次称为第 卦限, 第 卦限,… ,第 卦限。

   显然在坐标面上的点的坐标有一为零,例如 面上的点的坐标 中 。在坐标轴上的点的坐标有两个为零,例如 轴上的点的坐标中 ,原点的坐标为 。

　   在同一卦限内点的坐标的符号是一致的,但不同卦限内的点的坐标符号就不一样。各卦限内点的坐标 的符号如下表所示：

坐标
	+	-	-	+	+	-	-	+
	+	+	-	-	+	+	-	-
	+	+	+	+	-	-	-	-

类似地,利用矢量可以引进平面上的标架与坐标的概念。在平面上取定点 与两不共线的矢量 ，那么它们就构成了平面上的标架 ,可以把平面上的任意矢量 与有序实数对 之间建立一一对应关系，而平面上的任意点 ，通过径矢 也可与有序实数对 建立一一对应，这样由标架 就确定了平面上的一个坐标系，并记做 ，而矢量 与点 的坐标分别记做 与 。

 过点 沿 与 的方向分别引两轴 。这就是坐标轴， 为坐标原点，我们也可以用 来记平面坐标系。如果都是 都是单位矢量，且 垂直于 ，那么这时所确定的坐标系，就是我们所熟知的平面直角坐标系。在一般情况下，我们称它为平面仿射坐标系，我们约定，平面直角坐标系的坐标矢量 改为单位矢量 , 并用 来记平面直角坐标系。

下面我们用坐标进行矢量的运算。  

1)  用矢量的始点和终点的坐标表示矢量的分量

定理1  矢量的分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。

   

证  设矢量 的始点与终点分别为 与 （图1-24），那么

                         ,

          ,

所以                

                

              ,

即                                       (1.5−1)

   2)  用矢量的分量进行矢量的线性运算

定理2  两矢量和的分量等于两矢量对应的分量的和。

  证  设 , (图1-24)，那么

            

所以               (1.5−2)

定理3   数乘矢量的分量等于这个数与矢量的对应分量的积。

    证  设 , 那么

       

 所以                                     (1.5−3)

    3)  两矢量共线的条件,三矢量共面的条件

定理4 两个非零矢量 , 共线的充要条件是对应分量成比例,即

                        .                      (1.5−4)

     证  非零矢量 共线的充要条件是其中一矢量可用另一矢量来线性表示, 不妨设 , 于是

                   ,

由此得到        ,  所以      

           

当分母为零时,我们约定分子也为零。

   推论1  三个点 和 共线的充要条件是

                          (1.5−5)

定理5   三个非零矢量 , , 共面的充要条件是

                               (1.5−6)

   证  非零的三个矢量 共面的充要条件是存在不全为0的数 使得

                    ,

由此可得         ,

      因为 不全为零，所以

                 .

   推论2  四个点 共面的充分必要条件是

                             (1.5−7)              

或

    .                   (1.5− 7′)

4) 线段的定比分点坐标.

     对于有向线段 , 如果点 满足 ，我们就称点 是把有向线段 分成定比为 的分点。根据上述条件，给定了点 , 分点 就由 唯一确定。当 时， 和 同向，点 是线段 内部的点；当 时， 和 反向， 是线段 外部的点。并且注意， , 不然，如果 , 将有  由此得 ，故 , 与条件  矛盾。

定理6   如果有向线段 的始点坐标为 , 终点为 （图1-25） ， 那么分有向线段 成定比 的分点  的坐标是

          .                    (1.5−8)

    证  由已知条件得   ,

　而           ， , 　

所以          ,

从而有          将 的分量代入，得 点的坐标为

       .

  推论3    设 , 那么线段 的中点坐标是    

 .        (1.5−9)

例  已知三角形三顶点为 , 求 的重心（即三角形三中线的公共点）的坐标。

解  设 的三中线为 , 其中顶点 的对边上的中点为 , 设重心为 ，

因为 为 的中点，即 分 成定比 ，所以根据公式（1.5-9）有

             .

又因为     , 即重心 把中线分成定比 .

再根据公式（1.5-8）可得

             ,

  同理        ，

所以 之重心为

             .