设已知空间的一点 与一轴 ，通过 作垂直于轴 的平面 ，我们把这个平面与轴 的交点 称为点 在轴 上的射影(图1-27)。            

定义1  设矢量 的始点 和终点 在轴 上的射影分别为点 和 ，那么矢量 称为矢量 在轴 上的射影矢量(图1-28)，记作 。

如果在轴上取与轴同方向的单位矢量 ，那么有

这里的 称为矢量 在轴 上的射影，记做 ，

即                 .

     我们也可以把 与 分别写为 与 ，

并且可以分别称为 在 上的射影矢量与 在 上 的射影，两者之间的关系是：

   射影矢量          （1.6-1）

    的数值显然与 和 的夹角的大小有关，现在来规定两矢量的夹角。

设 是两个非零矢量，自空间任意点 作 ，我们把由射线 和 构成的角度在 与 之间的角（显然这角度与点 的选取无关）称为矢量 与 的夹角，记做 . 按规定，若 与 同向，那么 ；如果 与 反向，那么 ；如果 不平行于 ，那么 .

定理1  矢量 在轴 上的射影等于矢量 的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：

             即           （1.6-2）

 

    证  当 时，命题显然成立. 当 时，过 二点分别垂直于 轴的平面 , 它们与轴 之交点分别是 ,那么 。再作 , 易知终点 必在平面 上.

因为 ，所以 , 为直角三角形，且 （图1-30）. 设 为轴 上与 同方向的单位矢量，那么 。

所以   。

   当  时， 与 同向，

            

   当 时 ， 与 反向，

           ,

从而当 时，总有

                .

    推论1   相等矢量在同一轴上的射影相等。

    定理2  对于任何矢量 有

             射影 .       (1.6-3)

   证  取 , 那么 (图1-31) ， 设 分别 是 在轴 上的射影，那么显然有

          ,

而  ，  ，  

故  射影矢量 .

 由（1.6-1）得 :射影

其中 为轴 上与 同向的单位矢量，所以

     

或          射影  

定理3  对于任何矢量 与任意实数 有

               .            （1.6-4）

   证  如果 或 , 命题显然成立.

    设 ,  且 ,

    那么当 时，有 ,

    故  

    当 时，有  

    故  

      因此（1.6-4）成立.

例  设在直角坐标系 下，矢量 ,

证明： ， ， 。

         证  设径矢  ，那么 在坐标轴上的射影即为 在坐标轴上的射影.

设 点在 轴, 轴, 轴上的射影分别为 （图1-32），那么

           ,

           ,

           .

由矢量在轴上的射影定义得： ， ，