在物理学中，我们知道一个质点在力的作用下，经过位移那么这个力所作的功为   

, 

其中为和的夹角（图1-33）。这里的功是由矢量和按上式确定的一个数量。类似的情况在其它问题中也常遇到(如求流体通过某一截面时的流速等等)。 

定义1  两个矢量和的模与它们夹角的余弦的乘积称为矢量和的数量积 （也称内积或点积）, 记作或，即

 .                        (1.7−1) 

两个矢量的数量积是一个数量而不是矢量，特别的当两矢量中有一个为零矢量时， 例如, 那么, 从而有。

当为非零矢量时，有 射影

所以由（1.7-1）立刻得：

   射影射影              (1.7−2) 

特别地，当为单位矢量时，有

   射影                           ()

如果（1.7-1）中的, 那么有我们把数量积称为的数量平方，并记作。

定理1   两矢量与相互垂直的充要条件是

证  当时，于是；

反过来， 当 时，如果均为非零矢量，那么根据（1.7-1）有

从而；如果中有零矢量，由于零矢量的方向任意，可以把它看成与任意矢量垂直，所以有。

下面我们讨论矢量的数性积的运算规律。 

定理2   矢量的数量积满足下面的运算规律: 

1）交换律   .             (1.7−3) 

2）关于数因子的结合律         (1.7−4) 

3）分配律           (1.7−5) 

 证    公式（1.7-3），（1.7-4），（1.7-5）中如果有零矢量，那么它们显然成立。 

下面的证明，假设它们都是非零矢量。 

1） .

2）如果, （1.7-4）显然成立；如果, 那么根据（1.7-2），（1.6-4）有

而           . 

所以（1.7-4）成立。 

3）根据（1.7-2），（1.6-3）有

所以（1.7-5）式成立。 

推论 1   .

根据矢量的数性积的这些运算规律可知，对于矢量数性积的运算，可以象多项式的乘法那样进行展开，例如

, 

, 

例1  证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。

  

 证  如图1-34，在平形四边形中，设两边为, 对角线, 那么 

于是            , 

, 

所以              , 

即             。        

例 2  试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都有垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面。 

    

 证  设直线与平面内两相交直线都垂直（图1-35）。下面证明与内与任意直线垂直。

在直线上分别任意取非零矢量，依条件有，所以

据已知，可用线性表示，即,

因而           . 

这表明两矢量与互相垂直，也就是它们所在直线与互相垂直，从而直线垂直于平面。 

例3  试证三角形的三条高交于一点. 

   

证  设的两边上的高交于点(图1-36),再设, ，那么    

因为, 所以, 即; 

又因为, 所以, 

即, 从而,  即,

所以. 

这就证明了点在第三条边的高线上，所以的三条高交于一点。

下面在直角坐标系下，用矢量的分量表示数性积。 

定理3  设 ，, 则 

 .                     (1.7−6) 

证  

 , 

因为是两两相互垂直的单位矢量,所以 

且              , 

因而     . 

推论2    设, 那么   .               (1.7−7) 

1）两点距离

因为在（1.7-1）中，当时有 , 

于是        ，或。

定理4  设, 那么.        (1.7−8) 

证  根据（1.7-6）得

所以   , 

因而（1.7-8）式成立。 

定理5  空间两点, 间的距离是

.              (1.7−9) 

证  因为, 

 所以 

2) 矢量的方向余弦 

矢量与坐标轴（或坐标矢量）所成的角称为矢量的方向角,方向角的余弦称为矢量的方向余弦。一个矢量的方向完全可由它的方向角来决定。

 矢量的方向余弦也可用矢量的分量来表示。 

定理6    非零矢量的方向余弦是 

                 (1.7−10) 

且 

                         (1.7−11) 

式中的分别为矢量与轴,轴,轴的交角，即矢量的三个方向角。

证   因为且, 

所以             , 

从而              

同理可证（1.7-10）其余两式成立。由（1.7-10）立即可知（ 1.7-11）成立。

从定理6可以看出，空间的每一个矢量都可以由它的模与方向余弦决定，特别地 ，单位矢量的方向余弦等于它的分量，

即有                       (1.7−12) 

3) 两矢量的交角 

定理7   设空间中两个非零矢量为和,那么它们夹角的余弦是： 

     （1.7-13） 

证   因为 

, 

所以           ，

而          ,

    , 

所以（1.7-13）成立。 

推论4  矢量与相互垂直的充要条件是

                    (1.7-14) 

在平面直角坐标系下，平面上的矢量也有完全类似的结论. 设平面上的两矢量为与, 那么有

                                   (1.7− 6′) 

                                  (1.7− 7′ ) 

                                     (1.7− 8′ ) 

平面上两点间的距离为 

                 (1.7− 9′) 

矢量α的方向余弦可以表示为 

                 (1.7−10′) 

且                                          (1.7−11′)