定义 1   两矢量 与 的外积（也称向量积或叉积）是一个矢量，记作 ,它的模是

                                          （1.8-1） 

    它的方向与 和 都垂直，并且按 这个顺序构成右手标架 （图1－38）

     物理学中的力矩是一个矢量，这是两个矢量的外积的实例，如图1-39， 如果力 的作用点是 ， ，那么力矩

外积的性质

因为平行四边形的面积等于它两邻边长的积乘以夹角的正弦,所以由（1.8-1）得：

定理1  两个不共线矢量 与 的外积的模，等于以 与 为边所构成的平行四边形的面积。

定理2  两矢量 与 共线的充要条件是

证：当 与 共线时（包括 或 为零矢量的情形），由（1.8-1）知 ，从而 。反过来，当 时，那么由（1.8-1）知， 或 ,或 ，或 ,因为零矢量可以看成与任何矢量共线，所以总有 ，命题得证。

定理3  矢量积是反交换的，即                               （1.8-2）

证  如果 与 共线，那么 与 都是零矢量，这时定理显然成立。

如果 与 不共线，那么 ，即 与 的模相等；又根据矢量   

    积的定义， 与 都同时垂直于 与 ，因此 与 是两共线矢量，其次由于按顺序 与   

    分别构成右手标架 与 （图1-38），所以 与 的方向相反，从而得 

    。

定理4 矢量积满足关于数因子的结合律， 。                 （1.8-3）

   式中 为任意矢量， 为任意实数。

证 若 或 共线，(1.8-3)显然成立。

若 ，且 不共线，而

，

，

。

    故三个矢量 的模相等，且这三个矢量当 时，都和 的方向相同，当 时，都和 的方向相反，因此三个矢量方向也相同，从而(1.8-3)成立。

推论1  设 为任意实数，那么 。               (1.8-4)

定理5  矢量积满足分配律，即 。             (1.8-5)

 

证  如果 中至少有一个是零矢量或 为一组共线矢量，(1.8-5)显然成立。现在假设不是上述情况，我们来证明(1.8-5)也成立。

设 为 的单位矢量，先证明下式成立：

                      (1)

首先，我们可用下面的作图法作出矢量 。

将矢量 与 置于公共始点 ，过点 作平面 垂直于 （图1-40）。自矢量 的终点 引 ， 为垂足，由此得矢量 在 上的射影矢量 ，再将 在平面 上绕点 依顺时针方向（自 的终点看向平面 ）旋转 ，得 ，那么 。

事实上，由作图法知 ，且 构成右手标架，所以 与 同方向；如果设 ，那么 ，所以 。

现在来证明（1）式，如图1-41所示，设 ，那么 。并设 分别为 在垂直于 的平面 上的射影矢量，再将 在平面 内分别绕 点依顺时针方向（自 的终点看向平面 ）旋转 得 ，依上述作图法可知，

而

所以

现在我们来证明（1.8-5）成立。

将(1)式两边乘以 ，利用(1.8-3)得 

而          

所以        

推论2                             (1.8-6)

证 

            

  据矢量积满足这些运算规律，矢量积也可以象多项式的乘法那样进行展开，例如

。

但是必须注意矢量积不满足交换律，而具有反交换律，所以在矢量积的运算过程中，其因子矢量的次序不可以    

  任意颠倒，如果交换矢量积的两个因子矢量，就必须改变符号，即换成它的反矢量。

例1  证明

证

例2  证明

                  （1.8-7）

证  因为

，

    所以

   

下面我们在右手直角坐标系 上，用矢量的分量表示矢量积。

定理6  如果 ，那么

       (1.8-8)

      或写成                                 (1.8-9) 

证  因为

，

      又因为坐标矢量 是三个两面互相垂直的单位矢量，所以有关系式

             (1.8-10)

      从面得

      此即(1.8-8)式，利用三阶行列式可写成（1.8-9）。

    例3  已知空是三点 ，试求（1） 的面积；（2） 的边 上的高。

解  （1） 的面积 的面积 ，（如图1-42）

。

    所以 ，

    从而 ，

    所以 的面积 。

    (2）因为 的边 上的高 即是 的 边上的高，所以

，

     又因为               ，

     所以                。