定义1  给定空间三矢量，先作其中两个矢量的矢量积，再作所得矢量与第三个矢的矢量积，那么最后的结果仍然是一矢量，称为所给三矢量的双重矢量积简称为三矢矢积。

例如 就是三矢量 的一个双重矢量积。

首先我们可以明确 是和 共面且垂直于 的矢量，这是因为根据矢量积的定义，立即知道 与矢量 垂直，并且它与 垂直，而 也与 垂直，所以 和 共面

双重矢量积上述几何关系可以概括为下面一个定理：

定理 1                  (1.10-1)

证  如果 中有一个为零矢量，或 与 共线，或 与 都垂直，那么(1.10-1)两边都为零矢量，定理显然成立。

现在设 为三个非零矢量，且 与 不共线，为了证明这时(1.10-1)也成立，我们先证明(1.10-1)中当 时成立，即有

                       (1 )

由于 共面，而 与 不共线，从而可设

                           (2 )

(2)式两边先后与 作数量积得

，                            (3)

。                        (4)

利用公式(1.8-7)由(3)、(4)解得

，                             (5)

(5)代入(2)即得(1)。

下面证(1.10-1)成立，因为三矢量 不共面，所以对于空间的任意矢量 ，根据(1.4-3)总有

，                     (6)

从而有

，

利用(1)式可得

。

即(1-10-1)成立，定理证毕。

必须指出，在一般情况下

这是因为

而 。                      (1.10-2)

比较公式(1.10-1)和(1.10-2)可知， 和 在一般情况下是两个不同的矢量，因此双重矢量积不满足结合律。

利用公式(1.10-1)可以证明拉格朗日(Lagrange)恒等式

。             (1.10-3)

这是因为由公式(1.9-3)，(1.10-1)得

这就是(1.10-3)。

拉格朗日恒等式的一个特殊情况是

。

这就是(1.8-7)。

例1 试证 。

证  因为 ，

,

三式相加得 。

例2  证明

证  设 ，于是

。

。