模拟试题一 答案



一、填空题

1. 

2. 全等的矩形

3. 

4. 完备

5. 

 

二、选择题

1. A

2. A

3. A

4. C

5. C

 

三、简答题

答:众所周知,欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑,虽然它不尽完善,但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作,它一经问世,就引起了学术界的广泛关注,欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现,它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单,同时它又是在第二十九条命题之后才出现的,于是这些数学家很自然提出这样一个问题:是否底五公设它不是一条公理,而是一条命题呢?与是他们试图去论证第五公设的独立性,在这种论证过程中,罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系,即罗氏及何与黎曼几何,这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系,只是平行公理不同。

 

四、计算与证明题

1. 解:设正交变换为

把对应点的坐标代入所设变换式,并利用正交变换式的系数关系得:

解这个方程组得:

,可得

故所求正交变换为:

2. 证明:设,其中是分点,则

 

 

分别代入直线方程,解得

3. 解:(1) 不存在,因为无穷远点没有非齐次坐标。

(2) 存在,设,则这个点的非齐次坐标为2

4. 解: 

        

因为, 所以为线心曲线。

它唯一的直径即中心线,也是主直径,其方程为: ,取其为轴,

再任取垂直与它的直线为轴,例如取

 (为相应坐标变换公式)

 

代入原曲线方程,得简化方程为,即