一、填空题

1. 

2. 全等的矩形

3. 

4. 完备

5. 

 

二、选择题

1. A

2. A

3. A

4. C

5. C

 

三、简答题

答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。

 

四、计算与证明题

1. 解：设正交变换为

把对应点的坐标代入所设变换式，并利用正交变换式的系数关系得：

解这个方程组得：

由，可得

故所求正交变换为：或。

2. 证明：设，其中是分点，则，

 

 

将分别代入直线方程，解得。

3. 解：(1) 不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。

(2) 存在，设，则这个点的非齐次坐标为2

4. 解: 

        

因为, 所以为线心曲线。

它唯一的直径即中心线，也是主直径，其方程为： ，取其为轴，

再任取垂直与它的直线为轴，例如取

取 （为相应坐标变换公式）

 

代入原曲线方程，得简化方程为，即。