浅谈数学概念的学习
王兆青
( 甘肃广播电视大学兰州市分校 , 甘肃兰州 730030)
摘 要 : 从数学概念的特点出发 , 探究了数学概念学习的基本方式 , 阐述了建构主义对概念教学的指导作用 , 并指出在概念学习中培养学生能力、在数学教学中进行素质教育的具体实施办法。
关键词 : 数学概念 ; 概念学习 ; APOS 理论 ; 培养能力
一、关于数学概念
1 、 数学概念的特点
(1) 何谓数学概念
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式。我们应当明确的是 : ①数学概念代表的是一类对象 , 而不是个别事物 , 所以数学概念在一定范围内具有普遍意义。例如 , “三角形”这个概念 , 不是指任何具体形状、颜色、大小的三角形 , 而是一个抽象概念。凡是三条线段首尾相接而成的封闭图形都叫三角形。②数学概念反映的是对象的本质属性 , 不是表面的属性。所以 , 学生学习概念就意味着学习、掌握一类对象的本质属性。
(2) 数学概念的双重特点
数学概念具有质与量两方面的特征 , 数学概念的质 ( 或称内涵 ) 是数学概念所反映对象的一切本质属性的总和 ; 数学概念的量 ( 或称外延 ) 是数学概念所反映对象的全体。例如 , “自然数”概念的外延就是自然数对象的全体 , 内涵就是指概念的本质特征的总和 , 它有两种表现形式 : Ⅰ、自然数的“基数”内涵 , 一切非空的、有限的等价集合的共同特征。Ⅱ、自然数的“序数”内涵 , 满足以下公理的一个非空集合 N 的元素 : ①“ 1 ”∈ N ; 设 a '是 a 的后继数 , 则对
a ∈ N 有 a '≠ 1 ; ②若 a ,b ∈ N , 则 a = b
a ' = b ' ; ③ a ' ,b '∈ N , 有 a ' = b '
我们也可以说数学概念具有的抽象性和具体性的特点。例如圆是到定点的距离等于定长的点的集合。在现实世界中 , 没有见过抽象的圆 , 而只能见到各种形式的具体的圆。圆是客观现实的抽象。因此 , 从这种意义上说 , 概念脱离了现实。在数学中 , 由于使用了形式化的语言 , 使之离现实更远 , 也就是说抽象程度更高。但是 , 尽管概念具有很强的抽象性 , 学生却可以获得概念。概念一但为学生所掌握 , 对学生来说就是“实在的”东西了 , 这就是概念具体性的一面。
2 、 重视概念学习的意义
数学家王元说 : “不断抽象是数学的特点之一 , … , 学习数学时会不断碰到新的抽象概念 , … , 学习概念首先要弄清概念 , 否则 , 脑子里难免是一盆浆糊。”数学概念是客观事物空间形式与数量关系的本质属性在人脑中的反映 , 是人们数学思维的基本形式与单位 , 也可以说是数学思维的“细胞”。因此概念的学习是数学学习的关键 , 它对于建构完整系统的知识结构 , 养成良好的思维能力起着举足轻重的作用。所以 , 我们在数学学习中必须重视观念的学习。
概念教学是数学教学的重要环节 , 它是引导学生进行新旧知识建构 , 使学生提高认知水平 , 培养思维能力最关键的一个步骤。数学概念概括性极强 , 且简练地表达了数学对象的本质属性 , 基本概念的掌握是学好知识的前提 , 而知识的熟练运用又会反过来促进对概念准确、全面的理解。所以 , 抓好概念教学是提高数学教学效率的一个关键。
二、建构意义下的概念学习
1 、 概念学习的特点
数学概念的最大特点是抽象性 , 数学概念学习的过程也具有抽象性。因此我们在数学概念的教学过程中应引导学生进行建构 , 找出原有认知结构中的已知与将要学习的未知之间的内在联系 , 降低其抽象性。
建构主义认为知识本身具有复杂结构的形态 , 任何一个对象若仅仅被看作某个孤立存在则是不可认识的。事物总是在它所在的结构中显现其特性 , 已知与末知之间存在非常微妙的关系 , 建构主义把事物之间的关系作为认识论的中心。为促进学生良好认知结构的形成 , 我们在教学中应注意知识结构的整体性 , 把联系紧密的数学知识集中起来成“块”呈现。 R ·斯根普曾指出 , “个别的概念一定要融入与其他概念合成的概念结构中才有效用。”这是因为 : ①概念结构能为学生上位学习个别概念提供具体“实例” ( 即抽象程度较低的概念 ) , 为学生下位学习个别概念呈现包摄程度更高的概念 , 为并列结合学习个别概念提供有潜在联系的类比概念 , 使学生在对这类相似或类推概念进行比较、归纳或概括之后获得概念图式 , 进而发展形成良好的概念认知结构。②数学中的问题解决是由若干有逻辑关系的概念、命题通过逻辑推理得以实现的 , 孤立的概念或命题不能支持问题解决 , 概念结构能帮助学生建构概念图式和命题图式 , 支持解题。
2 、 建构主义对概念教学的指导
我们在进行教学时 , 不应该把新知识作为己有的知识灌输给学生 , 而是应该找出学生原有认知结构中的已知与将要学习的未知之间的微妙的关系 , 引导学生自己去发现新知进而掌握新知 , 这个过程就是一个建构的过程。建构包括两方面的含义 : ①对新信息的理解是通过运用已有经验 , 超越所提供的新信息而建成的。②从记忆系统中所提取的信息本身也要按具体情况进行建构 , 而不仅仅是提取。建构一方面是对新信息意义的建构 , 另一方面又包含对原有经验的改造和重组。例如 , 直角坐标系对于初学解析几何的人来说是一个全新的概念 , 按传统的数学教学去处理 , 就单刀直入地讲解概念 , 至于学生怎样去理解 , 接受程度如何等等 , 都很难估计。若按建构主义观点进行教学 , 将会从学生生活现实经验出发来建构并确立坐标概念。比如 , 先问站在一个十字路口如何确定一个商店的位置 ? 向东多少米再向南多少米 , 等等 , 让学生明白 , 坐标系是确定平面上位置关系的参照系 , 而坐标正是用于定位的有序数对。通过这样一个过程 , 学生不仅更加易于接受直角坐标系的概念 , 而且也更深刻地理解了直角坐标系。
3 、 数学概念的学习
在我国古代 , 对学习本质的认识可以追溯到春秋时期。《论语》中有 : “学而时习之 , 不亦乐乎”。“学”指知识、经验与技能的获得 , “习”指温习、巩固。《礼记·月令》中有“鹰乃学习”的说法 , “学”指小鹰模仿老鹰的飞翔 , “习”指小鹰不停地煽动翅膀 , 作反复的练习飞行的动作。从上述的关于学习的说法 , 表明了我国古代对学习本质的认识在于获得知识 , 模仿技能、动作 , 并且还要在以后的时间里不断练习 , 另一方面还表明学习是一种活动过程。所以 , 我们认为数学概念学习的认知过程有概念的形成和概念的同化。另外 , 我们似乎也能从这里为美国数学教育家杜宾斯基的 APOS 理论找到一些原型。
(1) 概念的形成
概念的形成更接近于人类自发形成概念的方式 , 是在教学条件下 , 从大量具体例子出发 , 从学生实际经验的肯定例证中 , 以归纳的方法概括出一类事物的本质属性。概念的形成所要揭示的是 : 各种概念是如何通过个体头脑的活动 , 转变为个体所掌握的概念。概念形成的学习过程实际上就是用归纳法进行推理 , 从观察到的一些事实中概括出他们的共同点 , 进而得出一般规律。它是学习主体与客体的相互作用的过程 , 是主体主动的思维活动 , 它的过程可以表示为 : 环境→感觉→知觉→表象→概念。
(2) 概念的同化
概念的同化是达到一定心理水平的人自觉学习概念的主要方式 , 是指利用学生已有的知识经验 , 以定义的方式直接向学生揭示概念的本质。
同化有三种 :
①类属同化 , 新知识既可看成原认知结构的一个例子又可看成对原认知结构的扩展。②总括同化 , 新学习的知识总括与发展了原认知结构 , 使原认知结构重组而升级的过程。③并列同化 , 通过认知结构重组而纳入新知识、形成新认知结构的过程。
用概念的同化方式学习概念大致包括以下几个阶段 :
(a) 揭示概念的本质属性。例如 , 学习“一元二次方程”的概念一般是用概念同化的方式进行的。首先给出它的定义———末知数的最高次数为 2 的一元整式方程叫一元二次方程 , 它的一般形式为
。
(b) 对概念进行特殊的分类 , 再讨论这个概念表达的各种特殊情况 , 突出概念的本质。例如 , 可以讨论一元二次方程的各种特例 :
完全的一元二次方程 :
简化的一元二次方程 :
；
不完全的一元二次方程 :
；
；
；
(c) 新旧概念之间建立联系 , 例如上例 , 学生在学习一元二次方程概念之前 , 已经学过了方程概念 , 说明一元二次方程是一种特殊的整式方程 , 在次数和元上作了限制 ( 最高次数是 2 , 含有一个末知数 ) 。这样的一元二次方程概念就和方程概念建立了联系。
(d) 用肯定例证和否定例证让学生辨认 , 例如 , 举例 :
；
；
；
；
让学生进行辨认 , 其中哪些是一元二次方程 , 并说出理由。
(e) 实际应用强化概念 , 并把所学的概念纳入到相应的概念系统中 , 例如 , 把一元二次方程的概念纳入到方程概念的系统中。
用概念同化的方式学习概念 , 其关键是 (c) 、 (d) 、 (e) 步 , 即必须把新概念与原认知结构中的知识建立联系 , 把新概念纳入到原有概念中 , 新概念则是原有概念的限制 ; 在新概念的学习中 , 这种概念必须与原有概念精确分化 , 最后学生必须把新旧有关概念组成一个整体结构 , 达到系统化 , 组成一个概念系统 , 这也是建构数学概念的任务 , 这个过程是对数学材料的加工过程 , 是认知过程也是数学思维过程。
(3)APOS 理论
APOS 理论揭示了数学概念学习的本质 , 是具有学科特色的学习理论。杜宾斯基认为学生学习数学概念是要进行心理建构的 , 这个建构过程要经历以下四个阶段 :Action ( 活动 ) 阶段、 Proces ( 过程 ) 阶段、 Object ( 对象 ) 阶段、 Scheme ( 概型 ) 阶段。从数学学习心理学角度分析 , 以上四个学习层次分析是合理的 , 反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件 , 通过活动让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的联系。“过程阶段”是学生对“活动”进行思考 , 经历思维的内化、压缩过程 , 学生在头脑中对活动进行描述和反思 , 抽象出概念所特有的性质。“对象阶段”是通过前面的抽象 , 认识到了概念本质 , 对其赋予形式化的定义及符号 , 使其达到精致化 , 成为一个具体的对象 , 在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。“概型阶段”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善 , 起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号 , 经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系 , 在头脑中形成综合的心理图式。
三、在概念学习中培养能力
如何培养学生能力是教育工作者们长期探讨的一个问题 , 也是实施素质教育中要解决的重要课题。概念教学在数学教学中占有十分重要的地位 , 它不仅是基础知识教学的重要部分 , 而且与能力的培养密切相关。建立概念必须运用从特殊到一般的观察方法 , 遵循从具体到抽象的认识规律 , 而概念的正确掌握和灵活运用 , 对运算技能的提高、逻辑思维能力和空间想像能力的培养 , 都起到十分重要的作用。北京大学 张筑生 教授曾谈过一种看法 : “数学是研究人类思维方式的科学” , 因此数学教学的目的 , 自然地应表现为 , 通过 教授数学知识 , 把知识的学习和能力的培养结合起来 , 通过知识的教学 , 培养学生的能力。
时时刻刻 , 事事处处 , 总使知识以“系统中知识”的面貌出现在学生面前 , 使学生养成从系统的高度去把握知识、进行思考。当学生在头脑中形成一个知识系统时 , 他也就牢固掌握了概念的本质属性 , 从而激发其解决问题的积极性 , 增强灵活性。为实现这一教学目的 , 达到在概念教学中培养能力这一目标 , 我们有必要作到以下几点 :
1 、 重视 APOS 理论的指导意义
APOS 理论是一种社会建构主义的学习理论 , 它指出学生数学概念学习过程是建构的 , 并表明建构的层次。强调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景 , 并要求学生开展各种各样的数学活动 , 活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽象 , 对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合 , 从而达到建构数学概念的目的。这样建立起来的概念具有丰富的内涵 , 其中包含着概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想方法和概念的形式化 ( 对象 ) 等。因此 , 数学概念不能由教师简单地传授给学生 , 而只能依靠每个学生依据自己已有的知识和经验主动加以建构。这要求教师要重视学生的学习活动 , 让学生亲身体验 , 建构数学概念。所以 , 教师要创设问题情境 , 问题设计要注意以下几个方面 : (1) 能揭示数学概念的现实背景和形成过程 ; (2) 适合学生的学习水平使学习活动能顺利展开 ; (3) 适当的问题数量 , 使学生能进行充足的活动体验 ; (4) 注意趣味性 , 引起全体学生的学习兴趣。
2 、 抓住概念的本质属性 , 突破抽象关
概念的内涵揭示概念的本质属性 , 抓住了概念的本质属性 , 对概念的理解就较为容易了。
3 、 从运动变化的观点掌握概念
数学概念由于数学知识的逐渐复杂与深化 , 引起了含义的变化与发展。例如 , 整除的概念在数的范围内与代数式的范围内就有所变化 ; 又如角的概念 , 在初中只接触了正角而范围有限 , 到高中以后 , 对角又重新定义 , 不仅扩大了范围 , 而且又有负角 , 同时将锐角三角函数扩充到任意角三角函数。在运算中 , 掌握好了概念便增强了解题的灵活性。
4 、 明确概念间的对立统一关系
正数与负数、正角与负角、旋转的逆时针与顺时针、平面几何中定义的角与三角函数中的任意角等概念 , 都具有相互矛盾、对立统一的性质 , 体现了对立统一和相互转换的关系。
5 、 具体性与抽象性相统一
在概念教学中 , 首先应使学生明确感性认识与理性认识的相依关系 , 不能认为由感性认识得出的观念就是概念。心理学认为 , 直观是反映于人脑中的映象 , 这种映像可以以物化的形式再现出来 , 并被人们所感知 , 作为数学概念一般不同于其他概念 , 由具体直观的形象通过抽象的思维活动总结出来的概念 , 使学生感到直观形象、记忆牢固、掌握准确 , 应用起来比较方便 , 从认识过程看 , 学生头脑中形成感性认识的过程就是思维的起点 , 是具体性上升到抽象性的开端。如果没有这个开端 , 学生的学习往往会停留在空洞的概念上 , 而无法形成数学的真正技能和带有创造性的思维能力。
参考文献 :
[1] 方金秋 . 数学学习的规律与方法 . 北京 : 北京教育出版社 ,1996
[2] 庞国萍 . 建构主义的数学教学策略 . 广西师范大学学报 ,19 (3)