广西教育 2006.12
教师小学数学教学热点问题探讨之一
数学思维品质的内涵及其培养李星云 南京师范大学教科院
编者按：从本期开始，我们将陆续刊登南京师范大学教育科学学院副教授、硕士生导师李星云应邀为本刊撰写的《小学数学教学热点问题探讨》系列文章。这些文章涉及当前小学数学教学中广泛受到关注的各个方面，从理论上和实践上对应采取的正确的教学行为给予解释，提出相应的有效策略。我们期望这对读者运用现代教学理论来指导自己的教学行为有所帮助，以促进教学研究和课程改革的发展。
《全日制义务教育数学课程标准 ( 实验稿 ) 》中明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生应当初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题。这个目标反映了义务教育阶段的数学教学应定位于促进学生思维的发展。良好的思维品质是智慧的源泉、理性的使者、创造的火花、情感的母亲，所以在小学数学教学中探讨学生数学思维品质的培养有其特殊的意义。
一、数学思维品质的内涵评定及其培养意义
( 一 ) 数学思维品质的内涵
思维是人们在对外界信息感知的基础上经过分析、综合、比较、抽象、概括等智力活动获得理性认识的心理过程。
数学思维，就是以数和形为思维的对象，以数学的语言和符号为思维的载体，以认识和发现数学规律为目的的一种思维。它具有抽象性 ( 对它的对象与方法 ) 、严谨性 ( 对它的依据 ) 、统一性 ( 对它的发展方向 ) 的特点。数学思维优与劣的评价和衡量有一个相对的标志，这就是数学思维品质。
小学数学教学要着重培养的思维品质是思维的深刻性、灵活性、独创性和敏捷性等。小学生数学思维品质主要是从学习数学知识和解决数学问题的思维活动中得到锻炼和发展的。
( 二 ) 数学思维品质的评定
关于数学思维品质的评定问题，苏联著名数学教育家斯托利亚尔经过多年的实验观察，得到了一个较为合理并具代表性的五级评定标准：
第一级
几何：把图形看作整体，但只能按形状区分它们。
算术和代数：对数的概念不能脱离它所表征的具体事物，演算直接在事物的集合上进行。
第二级
几何：把图形作为自己认识的载体，并能根据认识进行判断。但是对图形的本质特征还仅仅是描述，而不是从逻辑上来定义。
算术和代数：能把数从它们所表征的具体事物中抽象出来，同时能进行用一定的计数制表示出来的数与数之间的运算，运算的性质能用归纳的方法来判定。
第三级
几何：对图形的性质和图形本身能进行逻辑整理，在借助于定义建立的一定逻辑联系中突出图形，并能用逻辑方法推出图形的其他性质。
算术和代数：能从数字表示的具体的数过渡到抽象的文字表示式。对数的性质和运算性质能进行局部的逻辑整理。
第四级
几何：基本了解几何演绎的意义，了解公理、定义、定理、证明的逻辑结构及其实质。算术和代数：能在给定的具体条件中建立弄清整个代数演绎结构的可能性。
第五级
几何：能抽去几何对象的具体特性和对象之间相互关系的具体涵义，将几何理论建成抽象的演绎体系。
算术和代数：能抽去计算对象的具体特性和对象计算的具体涵义，将代数建成不受任何解释局限的抽象的演绎体系。
斯托利亚尔的这个评定标准为提高小学生的数学思维品质提供了理论依据。
( 三 ) 培养小学生良好的数学思维品质的意义
培养小学生良好的数学思维品质是完成教学任务的根本要求。小学数学教学的任务是使学生善于联想、归纳、推理、概括、探究，善于抓住事物的本质属性，善于找到解决问题的途径和方法，但如果学生没有良好的数学思维品质，这就不可能实现。
培养小学生良好的数学思维品质能促进教师教学水平的提高。教师为了培养小学生良好的数学思维品质，自己必然要努力学习 ' 并要把数学专业知识、教育学和心理学等知识有机结合起来。
培养小学生良好的数学思维品质的过程有利于形成良好的师生互动。现代教育理论注重发挥学生的主观能动性，教师如果重视培养小学生良好的数学思维品质，就必然会研究如何把数学课上得更符合思维逻辑，更生动活泼一些；而小学生如果具有良好的数学思维品质，就更能积极主动地进行思考，更好地配合教师。在这样的互动过程中 ' 教师与学生的距离拉近了，从而更易产生良好的教学效果。
二、小学生数学思维品质的培养策略
解决问题是数学活动的中心，而其根本思路在于寻求客观事物的数学关系和结构模式，从已解决的问题中概括出思维模式，再用此模式去处理类似的问题，进而形成新的模式。因此在小学数学教学中，教师要通过解题过程引导学生养成良好的思维方式，训练学生的思维能力，最终达到形成良好数学思维品质的目的。
( 一 ) 深入钻研，抓住本质，培养数学思维的深刻性
思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，它表现在能深入思考问题，善于从复杂的表象中把握住事物的本质。
1.注意直观与抽象的关系
小学生的思维正处在以直观形象思维为主向以抽象逻辑思维为主的过渡阶段。小学生学习数学大体上是一个“直接感知——表象——概念——概念系统”的认知过程。在这个过程中，必须充分运用直观，借助实物形成完整的知觉，积累丰富的表象，为抽象思维提供依托和支柱。
例如，要推导除数是小数的除法计算法则，可以先让学生动手剪一剪，把 1.2 米 长的电线剪成 0.3 米 长的小段，看可以剪成几段。或画出线段分一分，然后把以米为单位的小数改写成以分米或厘米为单位的整数，通过整数除法验证确认等分结果的正确性，并由此导出计算法则。以米为单位：
（段）；以分米为单位：
（段）；以厘米为单位：
（段）。这样学生通过感知实物，得到直观结果，推出抽象关系，进而培养了思维的深刻性。
2.沟通知识间的内在联系
沟通知识间的内在联系，从而透过复杂的事物表象抓住其规律和实质，这是培养思维深刻性的主要手段。
例如，学生学过分数的约分、通分后，思维往往停留在“基本法则”的浅层认识上，如果能适时揭示它们之间的本质联系，让学生悟出两者都是分数基本性质的应用，只不过是应用的方向不同——前者是“同时缩小相同的倍数” , 后者是“同时扩大相同的倍数”这样就能把学生的认识引向深层。
( 二 ) 开阔思路，多角度思考，培养数学思维的灵活性
数学思维的灵活性，表现在能对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化及时调整思维。小学生思考问题的角度常常是单一的，在小学数学教学中，教师注重启发学生用立体的眼光去观察事物，从多角度去思考问题，鼓励联想和提倡一题多解，将有助于学生思维灵活性的培养。
例如，计算
，思考的角度不同，解法也不同。最基本和普遍的方法是竖式计算，除了这个方法外还可用乘法分配律：
原式
或对数字进行适当变形：
原式
还可利用积的变化规律：
原式
( 三 ) 独立思考，探究求新，培养数学思维的独创性
数学思维的独创性，表现在能独立地发现问题、分析问题和解决问题，主动提出新的见解和采用新的方法。在实施素质教育的今天，培养小学生的独创精神尤为重要。教师在教学中要充分调动小学生学习的积极性和主动性，鼓励他们独立思考、探究求新，激发他们对已有知识进行“再加工”，创造性地寻找各种“别出心裁”的方法。
例如，一个农夫有若干只鸡和兔子，它们共有 50 个头和 140 只脚，问鸡兔各有多少只？
这是一个古老的“鸡兔同笼”问题，可以用置换假设方法来解决，但也有不落“俗套”的奇思巧想：在绚丽的日光下，农夫躺在草地上，自在地欣赏着鸡兔们非凡的表演——每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来。突然，农夫的头脑中“跳”出一个念头：在这种情况下，鸡兔的总脚数少了一半，即只有 70 只脚，在 70 这个数里，鸡的脚数是与鸡的头数相等的，而兔子的脚数则是头数的两倍。所以，从 70 里减去总头数 50 ，剩下来的就是兔子的头数：
（只），当然鸡就是：
（只）。
( 四 ) 注重基础，强化训练，培养数学思维的敏捷性
数学思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。小学生数学思维的敏捷性，在概括过程中表现为善于快速地概括出数量关系及相应的解题技巧；在理解过程中表现为善于迅速地抓住数学问题的实质，熟练地进行等量交换；在运用过程中表现为用压缩了的数学结构进行数学思维；在推理效果上表现为从冗长的分析推理中解脱出来，减少中间环节，培养和训练小学生思维的敏捷性，要注意抓基础促迁移，即把小学数学中的基本概念和基本原理的教学放在中心地位，充分利用知识结构间的联结，强化技能训练，使学生正确、合理、巧妙地运用基本知识，缩简运算环节和推理过程，使学生会从详尽的思维逐步过渡到压缩省略的思维。
例如，一艘轮船，顺水行驶时，每小时行 20 千米 ；逆水行驶时，每小时行 15 千米 。从 A 地到 B 地，它花了比回程少 5 小时的时间，问 A 、 B 两地相距多少千米？
如果仔细分析一下题意，就能在众多的解法中探究出一种最简单、最清晰、最优美的解法。轮船顺流而下时，每千米花 3 分钟；逆流航行时，每千米花 4 分钟；这就是说，顺水行驶时，轮船每千米可节省 1 分钟。由于全程一共省下的时间是 5 个小时，即 300 分钟，所以 A 、 B 两地的距离为 300 千米 。
数学思维品质是一个统一的整体，各个组成部分相辅相成。在小学数学教学中培养学生良好的思维品质，是一项长期而艰巨的工作，教师应当积极探寻开展思维训练的方法和途径，促进学生数学思维品质的全面发展。
