D-S证据理论的推理

（1）知识表示

     设某领域的假设集合为U={s1,s2,...sn}，命题A,B,c...是U的子集，系统的推理规则表示为

      IF E THEN H,cF

其中E为证据，H为假设，它们是命题的逻辑组合，cF为置信度因子。

    命题和置信度因子可表示为

          A={a1,a2,...,ak}

         cF={c1,c2,...,ck}

其中ci用来描述ai的置信度，i=1,2,...,k

    对任何命题A，A的置信度cF应满足:

    1.ci≥0,1≤i≤k                   

    2. 

 （2）证据描述

      设m为2^U上定义的基本概率赋值函数，它应该满足下面的条件：

      1.m({si})≥0,对于si∈U

      2.  

       3    

      4.m(A)=0,对于AÌU，且|A|>1或|A|=0其中|A|表示命题A中的元素的个数。

    若m1和m2为2^U上的两个基本概率赋值函数，则它们的正交和为

    m({si})=(1/K)*[m1({si})*m2({si})+m1({si})*m2(U)+m1(U)*m2({si})]

其中

如果K^-1=0，那么说明m1和m2矛盾。在K≠0的条件下，定义信任函数Bel(A)为：

    对于任何命题AÍU，其信任函数为

似然函数Pl(A)定义为

    对于任何命题AÍU，其似然函数为

       Pl(A)=1-Bel(ØA)

             =m(U)+Bel(U)

        Pl(U)=1-Bel(ØU)

             =1-Bel(Φ)=1

显然，对于任何AÍU，都有 

         Pl(A)≥Bel(A)

并且对于任何命题AÍU，BÍU，都有

     Pl(A)-Bel(A)=Pl(B)-Bel(B)=m(U)

    在D-S证据理论中，还利用 Pl(A)和Bel(A)定义命题A的类概率函数f(A)，作为命题确定性的度量。

    设U为有限域，对任何命题AÍU，命题A的类概率函数为

          f(A)=Bel(A)+(|A|/|U|)[Pl(A)-Bel(A)]

其中|A|和|U|分别是A和U中元素的个数。易于证明，类概率函数f(A)具有如下的性质：

    1. 

    2.对于任何AÍU，有Bel(A)≤f(A)≤Pl(A)

    3.对任何AÍU，有f(ØA)=1-f(A)

由上述的性质，还很容易得到下面的推论：

    1.f(Φ)=0

    2.f(U)=0

    3.0≤f(A)≤1, 对于任何AÍU。

（3）不确定推理

    在下面的讨论中，我们将所有输入的已知数据、条件部分和假设部分的命题都称为证据，并且据此来分别讨论规则的条件部分和结论部分命题的确定性。

    若A时规则条件部分的命题，在证据E'的条件下，命题A与证据E'的匹配程度定义为

那么，规则的条件部分命题A得确定性为

       cER(A)=MD(A,E')*f(A)

    由于f(A)∈[0,1]，所以有cER(A)∈[0,1]。

    在规则的条件部分为若干个命题的逻辑组合的情况下，整个条件部分的确定性是：

    1.若A=A1 AND A2 AND...AND An，则

        cER(A)=cER(A1 AND A2 AND...AND An)

              =min{cER(A1),cER(A2),...,cER(An)}

    2.若A=A1 OR A2 OR...OR An，则

        cER(A)=cER(A1 OR A2 OR...OR An)

              =max{cER(A1),cER(A2),...,cER(An)}     

    对于规则的假设部分的命题确定性，如果有规则IF E THEN H={h1,h2,...,hk}，cF={c1,c2,...ck}，且U={h1,h2,...,hk}，则U上的基本概率赋值函数为

     m({h1},{h2},...,{hk})={cER(E)*c1,cER(E)*c2,...,cER(E)*ck}

根据上述的基本概率赋值函数m就可以求出假设部分的信任函数、似然函数、类概率函数和确定性。

    如果有几种类规则支持同一命题时，总的基本概率赋值函数m为各规则假设得到的基本概率赋值函数的正交和，即

          m=m₁⊕m₂⊕...⊕m_n

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