一、总体平均数的区间估计

（一）总体正态分布，总体标准差已知

这时样本平均数抽样分布服从正态分布，样本平均数与总体平均数的差异为。当置信度是95%时，P（≤≤）=0.95。即总体平均数落在区间(，)内的可能性有95%；其中为上置信界限，为下置信界限。

当置信度为99%时，则相应的置信区间为[，]，其中，为上置信界限，为下置信界限。

如已知学生综合测试成绩服从正态分布，从中随机抽取=25和=36两个样本，其平均数分别为=68，=69.2。已知总体的标准差为10.6，试估计总体平均数的置信度为95%和99%的置信区间。

解：先用=25样本的估计总体平均数。当置信度为95%时：

=63.84

=72.16

当置信度为99%时：

=62.53

=73.47

所以，总体平均数有95%的把握出现在63.84~72.16之间，在这区间之外的可能性只有5%；有99%的把握出现在62.53~73.47之间，犯错误的概率为 1%。

同理，根据=36的样本估计总体平均数。

0.95的置信区间为：<<，即65.74<<72.66。

0.99的置信区间为：<<，即64.64<<73.76。

总体平均数置信度为0.95的置信区间是（65.74，72.66），置信度为为0.99的置信区间是（64.64，73.76）。即总体平均数有95%的把握出现在65.74~72.66之间，有99%的把握出现在64.64~73.76之间，犯错误的概率为 1%。

以上可以看出，当样本容量是一定时，置信区间的大小与置信度有关，置信度越高，则置信区间越大；置信度低，置信区间也低。当置信度一定时，置信区间的大小与样本容量有关，随着样本容量增大，置信区间也会随着减小，样本平均数的值也更接近总体平均数。因此，在条件允许的情况下，用较大样本的统计量估计总体参数更具有优越性。

（二）总体正态分布，总体标准差未知

1．当n≥30时，平均数的抽样分布为渐进正态分布，用样本标准差代替总体标准差，所以总体平均数置信度为0.95的置信区间为（，）；置信度为0.99的置信区间为（，）。

如果设置信度为1-α，α为小概率（常取值为0.05和0.01）。当总体标准差已知，或总体标准差未知但大样本时，区间估计公式为：

    

如从某区初三学生的数学推理测试成绩中随机抽取81名学生的成绩，其平均数为72分，标准差为=9.4分。已知全区初三学生的数学推理成绩服从正态分布。试以95%置信度估计该区初三学生数学推理测试平均水平的置信区间。

解：由于学生数学推理测试成绩服从正态分布，n=81，所以，按正态分布的理论对总体平均数进行估计。由于α=-0.95=0.05，所以

下置信界限：==69.95

上置信界限：==74.05

即该区初三学生数学推理测试平均成绩在[69.95，74.05]范围的可能性为95%，犯错误的概率为0.05。

 

2．当n<30时，样本平均数的抽样分布为t分布，某一可靠度下总体平均数的区间估计要依据t分布来进行。可以通过t值表查出，的置信度为1-α的置信区间为：

    

如从某区小学四年级学生的自学能力测验中随机抽取17名学生的测试分数，求得其平均数为75分，标准差为=12.3分。已知四年级学生的自学能力服从正态分布，请以99%置信度估计该区四年级学生自学能力平均水平的置信区间。

解：由于总体标准差未知，而且n<30，样本平均数服从t分布，自由度为n-1；由于置信度为0.99，则α=0.01；查t分布表，t(16)=2.921，所以

==66.02

==83.98

即全区四年级学生自学能力的平均水平出现在[66.02，83.98]这一区间的可能性有99%，而在此区间以外的可能性只有0.01。

（三）总体非正态分布

无论总体方差已知与否，当总体非正态分布时，只有样本容量n≥30时，才能用样本平均数的抽样分布理论来估计总体平均数。由于此时样本平均数的抽样分布近似正态分布，所以可采用正态分布理论对总体平均数进行区间估计。

二、总体比率的区间估计

问题导入中用64名学生成绩的优秀率估计320名学生的优秀率属于总体比率的区间估计。总体比率的区间估计一般在较大样本情况下才有意义。

比率抽样分布的标准差也称为标准误，记作。当总体比率、已知时，比率的标准误为：

  

当总体比率、未知时可用和代替，标准误为：

  

当≥5或≥5（和中较小者）时，样本比率近似服从正态分布，此时总体比率区间估计的公式为：

    

如某小学要研究小学生的智力水平与学生学习成绩的关系，随机抽取二年级学生80名，用韦克斯勒智力测验量表测量他们的智力水平，结果智商成绩在110分以上的有58名，试以95％的可靠性估计全校二年级学生智力测验分数总体在110分以上者占总体比例的置信区间。

解：已知0.725，＝0.275，n=40，则

=0.05

置信度为0.95时，，所以

总体比率的上置信界限为：0.823

总体比率的下置信界限为：0.627

即有95％的把握认为，全校二年级学生智力测验分数在110分以上的比率会在62.7%~82.3%之间，在这一区间以外的可能性只有5％。