考试分数是评价培训中心教学质量差异的主要因素。管理部门为了考察两个培训中心的教育质量，在两个培训中心各随机抽取接受过培训的学员参加考试。随机抽取A培训中心培训过的学员35名，平均成绩为=83.2分，在B培训中心接受过培训的学员40名，平均成绩为=78分。根据以往资料可知A培训中心学员成绩的标准差为=8，B培训中心学员成绩的标准差为=10，成绩服从正态分布。试分析两个培训中心的教育质量是否存在差异。

这一问题是通过比较与之间的差异，来说明它们所来自的两个培训中心教学质量间是否存在差异。两个样本平均数间差异的显著性检验，就指根据两个样本平均数之间的差异（-）来检验两个相应总体平均数之间差异（-）是否显著。原理与单总体平均数显著性检验一样，首先提出假设（H0：=，H1：≠），然后以两个样本平均数之差的抽样分布为理论依据，来考察两个样本平均数之差是否来自两个总体平均数之差为0的总体。如果两个样本平均数之差在其抽样分布上出现的概率足够小，达到了一定的显著性水平，则拒绝零假设，接受备择假设，得出两个总体平均数间有本质差异的结论；否则接受原假设，两个样本平均数之差主要由抽样误差引起的。

两个平均数间差异的显著性检验既要考虑总体分布与总体方差，同时要注意方差是否齐性，以及两个样本是否相关等条件。

一、两个独立样本平均数间差异的显著性检验

独立样本是指随机抽取的两个样本之间没有关系。要检验这样的两个样本是否来自相同的总体，可根据不同的情况采取不同的检验方法，但前提是样本所来自的两总体方差齐性。方差齐性也叫方差相等，是指两方差间差异不显著。这是因为，两总体方差不相等，其平均数的代表性就不同，这时平均数进行相互比较，其结果的可靠性就受到影响。方差是否齐性，需要经过方差齐性检验（详见知识点六）。

（一）总体正态分布，总体方差已知、齐性
此时两样本平均数之差的分布为正态，无论样本大小，均适用于检验。公式为：

式中，、分别是两个样本的平均数；、分别是两个样本来自的总体的方差；、分别为两个样本的容量。

两个培训中心教学质量是否存在差异检验如下：

（1）提出假设。H0：=，H1：≠

（2）计算Z值。==2.499

（3）确定α水平及临界值。选取显著性水平为α=0.05，查正态分布表，Z0.05/2=1.96。

（4）统计决断。由于计算的Z=2.499>Z0.05/2=1.96，P<0.05，所以在α=0.05上拒绝原假设，接受备择假设，结论为两个培训中心的教育质量存在差异。

（二）总体正态分布，总体方差未知但齐性，两个样本容量均大于30

此时两个平均数之差的分布为正态或近似正态，用样本方差直接代替总体方差，采用检验。公式为：   

式中， 、分别是两个样本的方差；、分别为两个样本的容量。

（三）总体正态分布、总体方差未知、齐性，样本容量小于30

当总体方差未知但相等，两个样本容量n1和n2均小于30，或其中一个小于30时，平均数间差异的显著性检验用检验，公式为：          

式中，、分别是两个样本的平均数；、分别是两个样本的方差；、分别为两个样本的容量。

如某老师为了研究在高中阶段“男生”与“女生”学习数学方面存在的差异，把全班52名学生的数学成绩按男生和女生进行分类统计。全班28名男生的平均成绩为70.4分，标准差为10.6分；24名女生的平均成绩为66.8分，标准差为9.4分。问李老师怎样评价高中阶段“男生”与“女生”数学成绩方面存在的差异？

解：男、女生虽组成一个教学班，但成绩是按男、女生分别统计的，这实际上就形成了从两个正态总体中随机抽取的独立样本。“男生”与“女生”的平均成绩存在一定的差异，但差异是由于抽样误差造成的，还是因为性别对数学成绩有实质性影响，采用检验法检验差异的来源。

H0：=，H1：≠

==1.26

取α=0.05，df =+-2=28+24-2=50。查t值表，得t0.05/2（50）=2.01。
由于计算的t=1.26< t0.05/2（50）=2.01，所以接受原假设，拒绝备择假设，说明“男生”与“女生”在平均分上的差异主要是由于抽样误差造成的，即“男生”与“女生”的真实水平并无差异。所以，在教学中认为男生数学水平比女生数学水平高的看法是片面的、缺乏科学依据的。

二、两个相关样本平均数间差异的显著性检验

相关样本是指两个样本内个体之间存在一定的关系，有两种情况：一是同一组被试在不同条件下形成的两组样本间存在相关。如用同一份测验对同一组被试在实验前和实验后进行两次测验，所获得的两组测验结果是相关样本。二是在成对匹配的两组被试条件下形成的样本存在相关。如将被试按某种原则一一配对，然后每对被试随机地分入实验组和对照组，对两组被试施以不同的实验处理之后，用同一个测验所获得的测验结果是相关样本。

由于相关样本的相关程度对实验结果有一定影响，因此对相关样本间差异进行检验时要考虑相关程度。另外，对两总体方差是否相等不做要求。根据方差是否已知及样本大小，采用不同的检验方法。

（一）总体正态分布，总体方差已知

此时，不管大小样本，都采用检验，公式为： 

式中，、分别是两个样本的平均数，、分别是两样本来自的总体的标准差；为成对观测值个数；为两样本间的相关系数

（二）总体正态分布，总体方差未知，>30

此时，仍采用检验，用样本方差代替总体方差，公式为：

式中， 、分别是两样本的标准差

如从某实验学校三年级中随机抽取47名学生，进行阅读能力训练。训练前进行一次测验，测验结果的平均成绩为71分，标准差为8.2分。训练两个月后，又采用等值测验进行测试，平均成绩为76分，标准差为9.6分，两次测验的相关系数为0.53。问阅读能力训练对提高学生的阅读能力是否有促进作用？

解：提出假设。设训练前的平均成绩所来自的总体平均数为，训练后的平均成绩所来自的总体平均数为，采取右单尾检验。H0：，：>

=3.93

取α=0.01，查正态分布表，右尾检验的临界值Z0.01=2.33

由于计算的=3.93>Z0.01=2.33，所以在0.01水平上拒绝原假设，接受备择假设。结论为训练前后两次测验的平均成绩差异非常显著，训练后学生进步很大，阅读训练对提高学生的阅读能力有较大的促进作用。

（三）总体方差未知，<30

此时适用于检验，=n-1。计算统计量t值的公式为：