矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算。我们知道有限个矢量通过线性运算，它的结果仍然是一个矢量。

定义1  由矢量与数量所组成的矢量

称为矢量的线性组合。

当矢量是矢量的线性组合时，我们也说：矢量可以用矢量线性表示。或者说，矢量可以分解成矢量的线性组合。

我们约定，只有一个矢量与数量结合的情况，也称它为矢量的线性组合。

定理1  如果矢量, 那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即

,                   (1.4−1)

并且系数被唯一确定。 这时称为用线性组合来表示共线矢量的基底。

证  如果 (1.4−1) 成立，即有, 那么与共线。

反过来，如果与非零矢量共线，那么一定存在实数，使得（见上一节中(1.3-5)的证明）。 显然如果，则,即。

最后证明 (1.4−1) 中的是唯一的。

如果, 那么, 而, 所以.

定理2 如果矢量不共线，那么矢量与共面的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说矢量可以分解成时的线性组合，即

,                 (1.4−2)

并且系数被唯一确定。这时称为用线性组合来表示共面矢量组的基底。

证  首先，因为矢量与不共线，所以,。设和共面，如果和（或）共线，那么根据定理1，有, 其中（或）, 如果和都不共线，把它们归结到共同的始点, 并设，,

那么经过的终点分别作的平行线依次与直线交于( 图1－17 ). 因为，根据定理1,可设,

所以根据矢量加法的平行四边形法则得, 即

.

反过来，设, 如果有一是零，例如,

那么与共线，因此它与共面。

如果, 那么, 从两矢量相加的平行四形法则可知与与共面，因此与共面。

最后证明由唯一确定。

因为如果, 那么, 如果, 那么, 将有, 这与定理假设矛盾，所以. 同理，, 因此被唯一确定。

定理3  如果矢量不共面，那么空间任意矢量可以由矢量线性表示，或者说空间任意矢量可以分解成矢量的线性组合，即

,                            (1.4-3)

并且其中系数被唯一确定。

这时称为用线性组合来表示空间矢量的基底。

证   首先因为不共面，所以，且它们两两不共线。

如果和之中两个矢量共面，那么根据定理1.4.2 立即可知（1.4-3）成立，例如和共面，那么有等等。

如果和之中任何两个矢量都不共面，将矢量和 归结到共同的始点，并设，过的终点作三平面分别与平面平行，且分别和直线相交于三点，因

此作成了以为棱，为对角线的平行六面体（图 1－18），于是得到：

        ，

又根据定理1，可设, 所以得到

         

下面证明系数由唯一确定。

因为如果

 ,

那么

 

如果        

那么

根据定理2可知共面，这与定理假设矛盾，所以有 。

同理，，因此被唯一确定。

例 1  已知三角形, 其中, 而分别是三角形两边上的点，且有, ,设与相交于图（1－19），试把矢量分解成的线性组合。

解  因为, 或

而     ,,

        

所以   ,    (1)

或         (2)

因此不共线，所以根据定理2，由(1),(2)得：

 

解得：

所以得：

,

即  

 

例 2 证明四面体对边中点的连线交与一点，且互相平分。

证  设四面体一组对边的中点分别为，连线为的中点为（图1－20），其余二组对边中点连线的中点分别为, 下面只要证明三点重合就可以了。 记。

连接，因为是的中线，所以,

又因为是的中线，所以 ,

而     ,

从而得   ,

同理可得   

所以    ,

从而知三点重合，命题得证。

我们还可以把矢量的线性组合的概念加以扩充，引进线性相关和线性无关的概念。

定义2  对于 n(n≥1) 个矢量, 如果存在不全为零的 n 个实数使得    

,          (1.4−4)

那么矢量 称为线性相关，否则称为线性无关。 换句话说，矢量称为线性无关的是指只有 时， (1.4−4) 才成立。

推论1  一个矢量线性相关的充要条件为。

定理4  在 n≥2 时，矢量线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合。

证 一方面，设线性相关，那么（1.4－4）成立，且 中至少有一个不等于，不妨设, 那么可以写成的线性组合

反过来，不妨设中有一个矢量,它是其余矢量的线性组合，即

 ,

改写一下，就有

 

因为数 不全为0， 所以 线性相关。

定理5  如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关。

证   设有一组矢量, 其中一部分比如说线性相关，即有不全为零的数  使得  ,

由上式显然有

,

因为中至少有一不等于0，所以 线性相关。

推论2  一组矢量如果含有零矢量，那么这组矢量间必线性相关。

利用矢量间的线性相关的概念，可以把矢量间的共线与共面的条件推广到更一般的形式。

定理6   两矢量共线的充要条件是它们线性相关。

证  设两矢量为与，如果它们线性相关，那么有,

并且不全为零，不妨设, 从而得。

如果, 据定理1知与共线；如果, 显然与共线。

反过来，设与共线，如果, 那么据定理1知,

即  , 所以与线性相关；如果, 那么由推论2知， 与线性相关。

这个定理告诉我们，如果要判别两矢量与共线，只要判别是否存在不全为零得两个数，使得       

.                  (1.4−5)

类似地，读者自己可以证明下面的定理。

定理7   三矢量共面的充要条件是它们线性相关。

按照这个定理，要判别三个矢量是否共面，只要判别 是否存在不全为零的三个数, 使得

                 (1.4−6)

对于空间的任何四个或四个以上的矢量，我们有下面的定理与推论。

定理8  空间任何四个矢量总是线性相关。

证   设四矢量为, 如果共面，那么根据定理7 它们线性相关。再根据定理5，即知所说四个矢量线性相关；如果不共面，由定理3可设, 根据定理4知 线性相关。

由本定理结合定理1.4.5立即可得：

推论3  空间四个以上矢量总是线性相关。

例 3  设, 试证三点共线的充要条件是存在不全为零的实数使得       , 且.

证  设三点共线，那么两矢量共线，因此两矢量与线性相关，所以存在不全为0的数 ，使得         

.

即        

,

由此得        

,

令

,

则不全为零，

且  

, 且  .

反过来，设有不全为0的数使

, 且 .

根据条件不妨设, 代入上面矢量等式整理得        

 

即        

,

但由 知不全为零，所以共线，

也就是三点共线。

例 4  设为两不共线矢量，证明矢量,共线的充要条件是

.

证 根据定理6，两矢量共线的充要条件是存在不全为零的数使得

,

即     

,

因为为不共线的矢量，也就是两矢量线性无关。

所以

,  

又因为不全为零，从而得矢量与共线的充要条件为

.