一、异众比率

异众比率（）就是非众数的次数与全部个案数目的比率。可见异众比率是对众数的补充，异众比率越小，说明众数的代表性越好；反之，异众比率越大，则说明众数的代表性越差。公式如下：

其中为众数的频数，为变量值的总频数。

【例4.9】表4-5显示了甲校学生的父亲职业统计情况，求异众比率。

表4-5  甲校学生的父亲职业统计

职业	学生人数
工人 农民 干部	152 288 110
总数	550

根据上面的表4-5，和公式（4.11）可以得到异众比率为：

二、四分位差

四分位差也称为内距或四分间距，它是上四分位数与下四分位数之差。是对定序及定序以上测量尺度的变量离散程度的测量指标。四分位差的计算方法是先将一组数据按大小排列成序，然后四等分，找出上四分位数和下四分位数，上四分位数的值（Q1）与下四分位数的值（Q3）的差异，就是四分位差（Q）。Q2就是中位值（Md），两边各有50%的个案，也就是在中位值两旁的Q1和Q3之间，共有50%的个案。因此，四分位差越大，表示有50%的个案越远离中位值，因而中位值的代表性就越小。

计算四分位差时，先求出Q1和Q3的位置，然后计算在这两个位置上的差异。Q1和Q3的位置公式是：

以下是计算四分位差的方法：

1.对原始资料

【例4.10】调查11位同学的年龄如下：17岁、18岁、18岁、19岁、19岁、20岁、20岁、21岁、21岁、22岁、22。
首先，求出Q1和Q3的位置：

其次，从数序中找出Q1=18，Q3=21

则四分位差Q= Q3—Q1=21—18=3

2.对单值分组资料

【例4.11】如表4-6所示的学生学业成绩。

表4-6  学生的学业成绩统计

等级	学生人数向下累计 ↓        向上累计↑
甲 乙 丙 丁	5　　　　　　　　　　5　　　　　　　　　80 　　20　　　　　　　　　25　　　　　　　　　75 　　30　　　　　　　　　55　　　　　　　　　55 　　25　　　　　　　　　80　　　　　　　　　25
总数	80　　　　　　　　　-　　　　　　　　　　 -

据公式可知：

从累积次数分布表中，很易看到在这两个位置上的值分别是丁级和乙级，所以：四分位差Q=丁—乙=两个等级。

3.对组距分组资料：

对组距分组资料Q1和Q3的计算公式为：

其中，L1为Q1属组之真实下限；L3为Q3属组之真实下限；f1为Q1属组之次数；f3为 Q3属组之次数；cf1为低于Q1属组下限之累积次数；cf3为低于Q3属组下限之累积次数；w1为Q1属组之组距；w3为Q3属组之组距；n为全部个案数。

【例4.12】如表4-7所示的资料

三、全距

全距又称极差，它是一组数据中最大值与最小值之差。全距是对定序及以上尺度的变量离散程度的测量。极差越小，表明资料越集中，集中趋势统计量的代表性越高。

计算全距的一般公式为：

【例4.13】某校3个系各选5名同学，参加智力竞赛，他们的成绩分别如下：

中文系：78.79.80、81.82

数学系：65.72.80、88.95

英语系：35.78.89.98.100

则三个代表队的全距分别为：中文系：82-78=4（分）数学系：95-65=30（分）英语系：100-35=65（分）

对于组距分组数据，全距也可以近似表示为：

（4.17）

全距是描述数据离散程度最简单测度值，计算简单，易于理解，但它容易受极端值的影响，个别远离群体的极值会极大改变极差，以至使它不能真实反映资料的分散程度。

四、方差及标准差

方差和标准差是衡量变异程度最常用的指标，方差通常用表示。

对于未经整理的原始数据公式为：

标准差又称均方差，方差的平方根即为标准差，通常用表示，分析定距变量的离散情况，最常用的方法是标准差。对应于公式（4.18）和公式（4.19），可以得到标准差的计算公式如下：

【例4.14】根据表4-8中1998年度和1999年度电视机广告前10名品牌广告费用统计情况，计算两个年度广告费用的标准差。

根据上表可以计算出1998年度和1999年度的平均广告费用额分别为：1604.4万元，1606.5万元。1998年度的标准差为：

同理可以计算1999年度的标准差为674.7万元。

五、离散系数

离散系数是一种相对的离散量数统计量，它使我们能够对同一总体中的两种不同的离散量数统计量进行比较，或者对两个不同总体中的同一离散量数统计量进行比较。

离散系数是标准差与平均数的比值，用百分比表示。记离散系数为V，则公式为：

【例4.15】一项调查的结果如下，某市人均月收入为92元，标准差为17元，人均住房面积7．5平方米，标准差为1．8平方米。试比较该市人均收入和人均住房情况哪一个差异程度比较大。

由题中数据得：

可见人均住房面积的差异情况比人均收入的差异情况要大。

以上就是常见的离散趋势统计量，离散趋势测量法与集中趋势测量法是有互补作用的。二法并用，就可以一方面知道资料的代表值，有助于估计或预测的工作，另一方面可以知道资料的差异情况，反映估计或预测时会犯的错误。但要选哪一种方法就要视乎变量的测量层次，彼此的关系可以综合如表4-9：

• 1、对于同一变量分布，其标准差永远（ ）【单项选择】。    
  　　 A 小于平均差
  　　 B 大于平均差
  　　 C 等于平均差
　　 D 不会小于平均差