参考答案

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1. (1) ，。

  (2) ，。

2. (1)

  (2) ，。

3. (1)

  (2) 

4. (1) ，，。

  (2) ，，。

5. (1) ，。

6. 设的常数项为，则的常数项为。因此

。

7. 由于，所以，

，因此。

8. 因为互素，则存在，使得。这说明是零次多项式，从而。所以。

9. 设，则存在，使。

所以.又因，，所以是与的一个最大公因式。又因，都是首一多项式，故也是首一多项式，从而

。

又如，则，原等式仍成立。

10.(1) 当有3重因式，当且，有重因式。

  (2) 当有4重因式，当且，有重因式。

11．

 所以无重根。

12.（1）

在复数域上的分解式:

.

在实数域上的分解式:

。

  （2）

                 。

，

，

所以，在实数域与复数域的分解式分别为

；

。

 

13. 在复数域上的分解式：

；

在实数域上的分解式：

14．（1）应用综合除法易得是的二重根，不是有理根.

  （2）是的有理根.经验证，是的二重根.

15．（1）令,则,取,由艾森斯坦因判别法知，在有理数域上不可约.

  （2）令,展开后取,由艾森斯坦因判别法可得在有理数域上不可约.

16．证明：是有理数域上的不可约多项式,于是或者,假定,令是三次本原单位根,则,且.

，矛盾,于是.

17．      

        

        

对,令,用艾森斯坦因判别法容易证明在有理数域上不可约,因此在有理数域上的不可约因式为及.

18．不可约,那么或者,假定,那么存在,使得,令是与的公共复根，则,矛盾,于是.