这一节介绍行列式的拉普拉斯定理,这个定理可以看成是行列式按一行展开公式的推广.

首先我们把余子式和代数余子式的概念加以推广.

定义9  在一个级行列式中任意选定行列.位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式,称为行列式的一个级子式.在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式.

从定义立刻看出,也是的余子式.所以和可以称为的一对互余的子式.

例4 在四级行列式

中选定第一、三行,第二、四列得到一个二级子式：

,

的余子式为

.

例5 在五级行列式

中

和

是一对互余的子式.

定义10  设的级子式在中所在的行、列指标分别是,,,；,,,.则的余子式前面加上符号后称做的代数余子式.

例如,上述例1中的代数余子式是

,

上面例2中的代数余子式为

.

因为与位于行列式中不同的行和不同的列,所以我们

有下述

引理  行列式的任一个子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式的展开式中的一项,而且符号也一致.

证明  我们首先讨论位于行列式的左上方的情形：

.

此时的代数余子式为

.

的每一项都可写作

,

其中是的一个排列,所以这一项前面所带的符号为,中的每一项都可写作

,

其中是的一个排列,这一项在中前面所带的符号是

.

这二项的乘积是

,

前面的符号是

.

因为每个比每个都大,所以上述符号等于

.

因而这个乘积是行列式中的一项而且符号相同.

下面来证明一般情形.设子式位于的第,,,行；,,,列,这里

；.

变动中行列式的次序使位于的左上角.为此,先把第行依次与第,,,,行对换.这样经过了次对换而将第行换到第一行.再将行依次与第,,,行对换而换到第二行,一共经过了次对换.如此继续进行.一共经过了

次对换而把第,,,行依次换到第,,,行.

利用类似的列变换,可以将的列换到第,,,列.一共作了

次列变换.

我们用表示这样的变换后所得的新行列式.那么

由此看出,和的展开式中出现的项是一样的,只是每一项都差符号.

现在位于的左上角,所以中每一项都是中的一项而且符号一致.但是

.

所以中的每一项都与中一项相等而且符号一致.

定理6（拉普拉斯定理）  设在行列式D中任意取定了个行.由这行元素组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.

证明  设中取定行后得到的子式为,,,,它们的代数余子式分别为,,,,定理要求证明

.

根据引理,中每一项都是中一项而且符号相同.而且和无公共项.因此为了证明定理,只要证明等式两边项数相等就可以了.显然等式左边共有项,为了计算右边的项数,首先来求出.根据子式的取法知道

.

因为中共有项,中共有项.所以右边共有

项.定理得证.

例3  在行列式

中取定第一、二行.得到六个子式：

,,,

,,.

它们对应的代数余子式为

,,

,,

,.

根据拉普拉斯定理

.

从这个例子来看,利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是在理论方面应用.

利用拉普拉斯定理可以证明

定理7  两个级行列式

和

的乘积等于一个级行列式

其中是的第行元素分别与的第列对应元素乘积之和：

证明  作一个级行列式

.

根据拉普拉斯定理,将按前行展开.则因中前行中除去左上角那个级子式外,其余的级子式都等于零.所以

再依次将第行的倍,第行的倍,,第行的倍加到第行,就得

.

这个行列式的前行也只可能有一个级行列式不为零,因此由拉普拉斯定理

定理得证.

上述定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.