参考答案

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1.（1）的逆序数是10.（2）的逆序数是18.

2.解（1）或 。但成奇排列，因此 。

（2） 或。但是奇排列，因此。

3.解

 （12,15） 。

4．解 逆序数为 .

当时，为偶数，所得排列为偶排列；当时，为奇数，所得排列为奇排列。

5. 解  的符号为。

的符号为 。

6.解 设这样的项为 ，则排列为奇排列，且只能取 。由此计算得是所有满足此条件的阶排列。于是所有带有负号并且含因子的项为。

7.解（1）根据行列式的定义，行列式的展开式中应该有 项，但由于出现很多零，所以不等于零的项就减少了，展开式中一般项为

如果，则，从而这个项就等于零。因此只需考虑的那些项；同理，只需考虑 的项。即行列式中不为零的项只有，而

 ，所以（1）中行列式

 。

（2）完全类似讨论有

 。

8. 证明 D的一般项为，其中是一5级排列，且当中有一个大于 时，此项为零。因为是一5级排列，故 中至少有一个取到大于，故每项均为零，从而。

9.解 由行列式的定义，只有对角线上元素相乘才能出现 ，且此项符号为正，即为  ；同理，只有才能出现，此项为，符号为  .由此得中的系数为，的系数为 。

10.证明 由行列式定义

这里表示对所有级排列求和。上式表明，此行列式的展开式的 中一半带正号，另一半带负号，而正项对应偶排列，负项对应奇排列，故奇偶排列各占一半。

11.解 （1） 中只有第1行元素含有的方幂，且最高次方幂为，的系数为

（2）由行列式的性质，。又是次多项式，是的互不相等的个根，所以是的全部根。

12. 解（1）

 

（2）

（3）

13.证明

14. 解（1）

 ，  

        

 

 

（2）

 

15.解 各题中行列式均用 表示。

（1）将此行列式按第1列展开，得

     

（2） 。

当 时，用拆项法。行列式中的第列均由两个子列组成，第1子列元素均为   ；第2子列元素均为，利用行列式的性质，原行列式可分作  个行列式，每个行列式均有两列元素相同或两列元素对应成比例，因此

（3） 用拆项法

将中的每个元素均看成两元素之和，即

                               

（4）用加边的方法

                              

 再按第3行展开，得

16.证明 各题中级行列式均用 表示。

（1）将行列式中从按第2列开始，每1列分别提出 ，然后每1列都乘以-1都加到第1列，化为上三角，得

（2）从第1行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开，得

 。

（3）按第1列展开，得

 ，

     

所以，

由与的对称性，得

将（1）乘以减去式（2）乘以，再除以，得

 。

（4）直接化上三角形，将第1行乘 分别加到其它各行，然后每1列分别提出 ，得

 

17. 解（1）方程组的系数行列式为

因此，可以应用克拉默法则，而

所以，方程组的唯一解为

（2）   依同法得唯一解为

18. 证明 设所求多项式为

 ，

利用所给条件有

由于它的系数行列式

由克拉默法则，方程组有唯一解 ，所以存在唯一多项式

满足.