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第三章PPT

 

学习指导

一、内容提要

1.基本概念

1)排列的逆序数、奇排列与偶排列;

2)级行列式的定义、行列式元素的余子式与代数余子式.

2.基本结论

1)行列式的基本性质;

2)行列式按一行(列)展开法则;

3)克拉默法则;

4)拉普拉斯定理。

3.基本方法

1)三角化法;

2)递推法;

3)加边法;

4)拆项法;

5)数学归纳法.

4.需要说明的问题

本章核心内容是行列式的定义和行列式的计算。一个应用是用行列式解方程组。具体学习过程中,应注意以下几个方面的问题:

1). 行列式的定义本书是一个交错和的定义方式

级行列式等于项取不同行,不同列的个元素的乘积的 代数和,每一项的正负号取决于组成该项的个元素的列下标所成排列的符号。即由确定。

应该注意:组成级行列式的矩阵应该是方阵,否则没有意义。

2)行列式的计算过程中,我们应该根据行列式的特点采取相应的方法,而不是盲目计算,这样可以避免浪费时间,有时可能不能获得结果。

计算行列式的主要方法有下列几种:1)三角化法;2)递推法;3)加边法;

4)拆项法;5)数学归纳法.其中1)、2)和5)是常用的方法,大家注意掌握。

实际计算过程中具体用那个方法方便,这要靠多练习,多留心,熟能生巧。

3)作为行列式在解线性方程组中的应用,得出了克拉默法则。可是它只能应用于方程个数与变量个数相等的情形,而且还要系数行列式不等于零,一般情形,需要用其它方法求解。这个结果只是在理论上有重要意义,实际计算时比较麻烦。

 

二、精选例题解析

 

例1写出四级行列式中所有带负号且包含因子 项。

解 四级行列式中包含因子 项为,其中的排列。的排列共有六个,所以这样的项共有六个。把的每个排列代入使这些项具体化。由于是仅有的奇排列,所以四级行列式中带负号且含有因子的项是

例2 计算级行列式

 

 

解 化三角法:先将1,3两列对换,得

例 3 计算级行列式

解法1  三角化法

将第1行乘以—1加到其它各行上,得

解法2 加边法

时,

时,  当

解法3 递推法

的最后一列看成是两个数的和,即

由此得递推公式

以此递推下去,得

解法4 拆项法

中的每个元素均看成两个数的和,利用行列式的性质,可分成个行列式,其中有多个行列式的值为零,即

 

例4计算级行列式

解 将行列式按第1行展开,得

于是得

从而有递推公式

例5计算级行列式

解 加边法

      

       

例6 证明

证明:用第二数学归纳法

时,结论成立。

假设对级数小于的行列式,结论成立,则按第行展开,得

由假设

代入前一个式子得

故对一切自然数都成立。

例7计算 级行列式

不是范德蒙德行列式,但具有该行列式的特点,故可考虑构造级的范德蒙德行列式,再利用范德蒙德行列式的结果,间接求出

构造5级范德蒙德行列式

按第5列展开,得

其中的系数为

又利用范德蒙德行列式的结果得

其中的系数为

所以

例8,,,是数域中互不相同的数,,,,是数域中任一组给定的数,用克拉默法则证明:存在唯一的数域上的多项式使

,.

证明 设所求多项式为

 ,

利用所给条件有

                   

由于它的系数行列式

由克拉默法则,方程组有唯一解 ,所以存在唯一多项式

满足

例9 证明 平面上三条不同直线

相交于一点的充分必要条件是

证明:必要性 设三条直线交于一点,故是齐次线性方程组

的一组的非零解,所以系数行列式,即

因为都是不相同的实数,所以必有

充分性 若则由方程组(1)得

证明方程组(2)有唯一解。用反证法,设方程组(2)的解不唯一,则必有

因为

不妨设,则由;再由,这与三条不同直线假设矛盾,故,方程组(2)有唯一解,即方程组(1)有唯一解,亦即三条不同直线交于一点。

例10 设互不相同的数,证明:下列线性方程组有唯一解,并求唯一解:

证明:方程组系数行列式

所以方程组有唯一解。

由范德蒙德行列式的结果,唯一解为

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