参考答案

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1.解 （1）

（2）

2.解

（1）  ；

（2）  ；

（3）  ；

（4）  ；

（5）  ，；

（6） ；

（7） ，当；

当时，

（8）

.

3.解（1）

（2）

4.解 （1）设，

则

由，得，所以所有与可交换的矩阵为形如为任意数。

（2）与（1）同样做法，可得所有与可交换的矩阵为形如其中为任意数。

（3）与（1）同样做法，可得所有与可交换的矩阵为形如

其中为任意数。

5.证明 设与可交换

由，得

因当时，，此时有，于是得为对角矩阵，即与可交换的矩阵为对角矩阵。

6.证明 设是与可交换的级矩阵，将分块为

其中是矩阵。

由，得

时，，因此当时，。即为准对角矩阵。

         

，其中是级矩阵。

7. 证明 （1）

由，得当时，且。

（3）如果与所有矩阵可交换，则与所有可交换，由（2）可得当时，，且，对所有的皆成立。所有。

8.证明

9. 证明 如果，即

于是得。

反之，如果，则

10. 证明 设，

则

如果，则

又皆为实数，所以于是有。

11. 证明 设级矩阵，皆为对称矩阵，则

         ，即可交换。

反之，若对称，且可交换，则

      ，即为对称矩阵。

12. 证明 显然有，是对称矩阵，而为反对称矩阵。

13.证明

14. 必要性 将列分块，由得，即是的解向量，又因此中至少有一个不为零即方程组有非零解于是。

充分性 如果，则方程组有非零解令，则且有

15. 证明 令，即表第行元素为1，其余元素为0，，则

即于是有。

16. 证明 （1）因即中存在一个级子式不为零，不仿设中前列所构成的级子式不为0，设，为矩阵，为矩阵，且，由，得。又为可逆矩阵，所以

（2）由，得，由（1），有，即。

17. 证明 设

分别是的列向量组的极大线性无关组，则的每一列向量可由线性表出，所以

18. 证明 设，即是的列向量。由，得即是方程组的解向量。又方程组的解向量组的秩为，所以有，

所以 。

19. 证明

所以

20. 解（1）用伴随矩阵求

（2）用初等矩阵求

所以

（3）用（2）同样方法，得

（4）

(5)

(6) 。

21. 解 将作适当分块，设，其中与同型，与同型，则

所以        

由此得    

于是。

22. 解 设，

其中 ，

由习题21，。

23. 解 （1）

（2）

（3）

24. 证明 （1）因为可逆，且，所以

，即对称。

如果，则，即反对称。

(2) 设为级方阵，且， 为奇数，则

 ，所以，故不可逆。

25. 证明 因为，所以 。

如果，则有

如果，若要结论成立，即要证。

当，则，结论显然成立。

当，若，则可逆，此时

，与假设矛盾。因此，当时，。

因此有。

26. 证明 （1）当，即可逆，，所以可逆，因此

（2）当，，

所以

又，即中存在一个子式不为0，所以中至少有一个元素的代数余子式不为0，所以，所以，所以。

（3）当，即中所有子式都为0。从而中所有元素的代数余子式都为0，故，所以。

27. 解 （1）

所以

（2）设

上两边取逆，得

所以

由，得

于是有。

.