. 设

 ，；

 ，，

计算 ，.

. 计算：

 ；  ；

 ；    ；

 ，；

 ；

  ，；

 .

. 设 ，是一个矩阵，定义.

  , ；

 ,.

试求.

. 如果，矩阵就称为与 可交换. 设

 ；   ；

  .

求与所有可交换的矩阵.

. 设

       ，其中当 .

证明：与 可交换的矩阵只能是对角矩阵.

. 设

,其中当 .

是级单位矩阵，. 证明：与 可交换的矩阵只能是准对角矩阵

，

其中是级矩阵 .

. 用表示行列的元素为，而其余元素全为零的矩阵，而. 证明：

 如果 ，那么当时，当时； ；

 如果，那么当时，当时，且；

 如果与所有的级矩阵可交换，那么一定是数量矩阵，即.

. 如果，，证明： ；.

. 如果，证明： 当且仅当.

. 矩阵称为对称的，如果. 证明：如果是实对称矩阵且，那么 .

. 设， 都是 的对称矩阵，证明：也对称当且仅当，可交换.

. 矩阵称为反对称，如果. 证明：任一矩阵都可表为一对称阵与一反对称阵之和.

. 设，；，. 证明：

.

. 设是矩阵，证明：存在一个非零矩阵使的充分必要条件是.

. 设是矩阵，如果对任一维向量都有，那么.

. 设为一 矩阵，为一矩阵，且秩. 证明：

 如果，那么；

 如果，那么.

. 证明

秩秩秩.

. 设，为矩阵. 证明：如果，那么

秩秩.

. 证明：如果，那么

.

. 求，设

 ，；  ；

 ；      ；

； 6)。

. 设

，

已知，存在，求 .

. 设

，

其中，求.

. 求矩阵.设

 ；

 ；

 .

. 证明：

        如果可逆对称（反对称），那么也对称（反对称）；

        不存在奇数级的可逆反对称阵.

. 证明：

，

其中是矩阵（ ）.

. 证明：如果是矩阵（），那么

秩

. 用两种方法求

的逆矩阵， 用初等变换；

 按中的划分，利用分块乘法的初等变换. （注意各小块矩阵的特点.）