将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段.现将某个单位矩阵如下进行分块：

.

对它进行两行（列）对换；某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵；一行（列）加上另一行（列）的的倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：

，，，

，.

和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵

，

只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：

，                     

，                    

.              

同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法是也有相应的结果，我们不写了.

在中，适当的选择，可使. 例如可逆时，选，则. 于是的右端成为

.

这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此中的运算非常有用.

下面举些例子看看这些公式的应用.

例

，

，可逆，求.

由

及

，

易知

.

例

,

设可逆，可逆，试证存在，并求.

由

.

而右端仍可逆，故存在.

再由例，知

例   证明行列式的乘积公式.

作

.                  

设，为矩阵，作

，

，这里为矩阵，除了第行第列元素为外，其他元素皆为零. 则由初等矩阵与初等变换的关系，易知右端为

.

又由所对应的初等变换是某行加上另外一行的倍数，它不改变行列式的值，故

         

           .（第二章§例）

但的右端可经个两列对换变成

，

故

这就证明了

.

例   设  ，且

，，

则有下三角形矩阵使

                    上三角形矩阵.

证明  对作归纳法. 当时，一阶矩阵既是上三角形又是下三角形. 故命题自然成立.

设对命题为真，我们来看

，

它仍满足命题中所设的条件. 由归纳法假设，有下三角形矩阵满足

=上三角形矩阵.

对作如下分块，

，

则

.

在作

.

这时矩阵已成为上三角形了. 将两次乘法结合起来就得到：

.

此即所要的下三角矩阵.