一、推理能力

推理在数学中具有重要的地位。诚如《标准》所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。学习数学就是要学习推理。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。

对数学推理的认识

数学推理直接与命题有关。在数学中，我们随时会对思维对象作出一种断定。如：“根号2是无理数”，“三角形ABC不是等腰三角形”。我们把这种对客观事物的情况有所肯定或否定的思维形式叫作判断。判断作为一种思维形式，与表示它的语句有密切关系。在数学中把表示判断的语句称为命题。而数学推理则是以一个或几个数学命题推出另一个未知命题的思维形式。

上述对数学推理的解释更多是基于形式逻辑的角度，如果从数学内部看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联，数学推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。

《标准》中的推理能力

1.合情推理与演绎推理

推理能力在数学中是属于数学思考（思维）能力中的一种，因此《标准》在数学思考的目标表述中作了明确的要求，指出：要“发展合情推理和演绎推理能力”。合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理（即推理的结论不一定成立的推理）的特称。归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理。它的思维进程是从特殊到一般。按照它考虑的对象是否完全而又分为完全归纳推理和不完全归纳推理。由于完全归纳推理考查了推理前提中所有的对象或类，所以若前提成立，结论也一定成立，因此完全归纳推理不是或然的推理而是必然的推理。合情推理中的归纳推理一般指不完全归纳推理。

类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它所在另一属性也相同或相似的一种推理。它是从特殊到特殊的推理。如由分数类比分式，由分数基本性质得到分式基本性质；由二维空间的三角形类比三维空间的四面体，由二维空间的勾股定理得到三维空间的毕达哥拉斯定理等。类比推理也是一种或然性的推理。

而演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的结论一定真）。它的思维进程是从一般到特殊。他的基本形式是三段论。

2.合情推理与演绎推理功能不同，相辅相成

波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”（波利亚《数学与猜想》），因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。正如《标准》指出：“两种推理功能不同，相辅相成。”

关于学生推理能力培养

在整个义务教育阶段，对学生推理能力的培养是内容学习和目标达成的一条主线，也是一个逐渐提升的长期过程。如下几个方面在教学中应该加以注意。

1.推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中

这是《标准》中提出的非常明确的要求。这里的“贯穿整个数学学习过程”应该有这样几层含义：其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合实践等所有领域内容。其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理表述概念定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在证明教学中，更要让学生遵循证明规则，通过数学推理、证明数学结论。其三，它也应贯穿于整个数学学习的环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试……，在所有的这些学习环节，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑。当然，“贯穿整个数学学习过程”也应包括推理能力的培养应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展。

2.通过多样化的活动，培养学生的推理能力

反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。《标准》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如《标准》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单猜想”（一学段），“在观察、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（二学段），“在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）。教师要认真体会《标准》所提出的这些要求，针对学生推理能力的培养，在课堂教学中开拓出更加有效的、多样化的活动途径。

3.使学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程

在“猜想——证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。

二、应用意识

《标准》在课程目标中指出：要使学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”增强应用意识作为数学课程的重要目标应该引起第一线老师的重视，并应通过有效的措施在课堂教学中予以落实。

培养学生应用意识的意义

通过第四章的分析我们已知，现代数学发展的一个典型特征就是数学应用的空前发展，许多抽象的数学理论得到了应用，数学向其他学科渗透又形成了许多新的数学交叉学科，就是一些过去与数学无缘的人文学科也与数学产生了联系，各门科学向着“数学化”发展，已成为当今科技发展的一个趋势。数学在渗透到各门学科领域的同时，它也逐渐渗透到了人们生活的各个角落：面积、体积、对称、百分数、平均数、比例、角度、概率等成为社会生活中很常见的名词；人口增长率、生产统计图、股票趋势图等不断出现在报刊、电视等大众信息传播媒介中；而象储蓄、债券、保险、面积、体积计算（估算）、购物决策等更是成为人们在生活中不可回避的现实问题。现代社会比以往任何时候都更需要公民运用数学去面对生活、工作中的问题。学校数学课程需要对数学的这种发展态势和时代要求作出积极的反应。

《标准》中应用意识的含义

意识在心理学上是一种心理倾向。良好的意识重在自觉性、自主性和选择性，它反映一个人在认识事物对象过程中，其思维的自觉、独立、批判、求异和创造的品质。基于这样的理解，数学应用意识就是一种用数学的眼光、从数学的角度观察、分析周围生活中问题的积极的心理倾向和思维反应。《标准》指出数学应用意识的含义主要体现在以下两个方面：

1.有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题

这里实际指的是主动应用数学知识的意识，这种意识的指向是“数学知识现实化”。学生能够有意识地、积极主动地应用数学知识去分析、解决现实世界中的现象和问题，这对学生实践能力和创新精神的培养具有重要意义。仔细分析这里有两层意思：一是有意识利用数学的概念、原理和方法去解释现实世界中的诸多现象。学生在日常生活中会遇到许多客观存在的现象，当遇到这样的一些现象时，学生应该具有一定的数学敏感性，要善于从数学的角度、运用数学的知识去解释这些现象，获得对现象本质的理解。例如，电视台播放某大奖赛实况，总要去掉一个最高分，一个最低分，然后求其它评分的平均数，这是为什么呢？学生学了统计中的平均数、中位数等知识后，他能有意识地去运用这些知识去分析这一现象，并能给出合理的解释：“去掉最高分、最低分，求其他分数的平均数，这样既可以降低极端分数的影响，又可以避免给中间几个数据太大的权重，合理地分解所有评分者的评分误差”。再如，《标准》第二学段的一个例子“阅读在报纸或者杂志上发表的有统计图的文章，用自己的语言说明统计图所表达的意思”，这事实上也体现了数学应用意识培养的要求；二是，有意识地运用数学知识去解决现实生活中的问题。学生学习某一数学知识后，应主动思考应用这一数学知识我能解决现实生活中的什么样的问题，这样就可以把理论与实际相联系了。例如，学生学习了“两点之间线段最短”这一数学知识后，主动思考能解决什么样的实现问题呢？善于思考的同学就会发现，我能解决“在两个汽车站之间，怎样设加油站的位置，使得到两个汽车站的距离最小？”这一实际问题。学数学的目的就是用数学，这一点很重要。

2.认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决

这个方面实际指的是对现实生活主动进行数学抽象的一种意识，它的目标是“现实问题数学化”。这一要求一方面体现为要让学生认识到现实生活中处处有数学，数学就在我们的身边，现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，如：储蓄、保险、选举、股票、打折销售等等；另一方面体现为认识到现实生活中的大量问题都可以抽象成数学的问题，用数学的方法予以解决。这也即是数学建模的思想。例如，某商场搞打折销售活动，有两种活动方案，一种是满200元省50元，另一种是直接打8折，如果你想买一种商品，请你制定你的购买方案？对于这一打折销售问题，学生能意识到可以抽象为数学中的函数的问题，然后用函数的相关知识予以解决。这样，可以让学生从认识上建立对数学应用的正确理解，这是很有必要的。

应用意识的培养

正因为数学应用意识属于“意识”范畴，处于“隐性”状态，这就决定了数学应用意识的培养具有长期性，我们不能期望在一两次解决问题中就能培养起学生的数学应用意识。因此，在义务教育的各个学段都应不失时机地激发学生的应用意识，促进应用意识的培养。

1.注重知识的来龙去脉

前苏联数学教育家斯托利亚尔认为，一个完整的数学活动可分为经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用三个阶段（斯托利亚尔，《数学教育学》）。传统数学教学往往只注重中间环节，而忽视了其他阶段。要培养学生的应用意识，不能只“烧中段”，还要“顾两头”，即要注重知识的来龙去脉，也即让学生知道数学知识“从哪里来”，又会“到哪里去”。

要让学生知道数学知识“从哪里来”，可从以下两方面努力。第一，提供数学知识产生的背景材料。在数学教学中，应尽可能结合数学课程的内容，介绍一些对数学知识发生、发展紧密关联的数学史资料及实际问题资料。例如，在数与代数部分，向学生穿插介绍代数及代数语言的历史、正负数和无理数的历史、一些重要符号和重要概念的起源与演变；在统计与概率部分，介绍一些有关概率论的起源、掷硬币试验、布丰投针问题与几何概率等历史事实。第二，呈现数学知识的形成过程。现实生活中蕴含着大量的数学信息，教师可结合现实生活或者具体情境，给学生呈现数学知识的形成过程，如“多项式与多项式相乘”的教学，可设置如下情境：学校操场的长、宽分别为m米、a米，由于教学需要，长、宽分别增加n米、b米，你能用两种方法表示扩大后的操场面积吗？学生画图后可得出(m+n)(a+b)和ma+mb+na+nb两种表示形式。教师再引导学生得出公式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。如此，在提高学生学习数学的兴趣的同时，也会让学生感觉到多项式乘法的应用价值。

要让学生知道数学知识“到哪里去”，就要反映数学知识的应用过程。义务教育阶段的许多数学知识，如概念的产生、计算法则的由来、几何形体的特征及有关公式等，无不渗透着数学在现代生产、生活和科技中的应用。例如，让学生用平方的概念探索细胞分裂（1个分裂成2个，再逐步分裂成4，8，16 …）的次数与个数之间的关系，使学生真正体会到“数学有用、要用数学”。

以上事实上分别展现了当前数学知识学习中，应该关注的“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程和“问题情境─建立模型─求解验证”的过程，这样的过程更有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，对学生应用意识的培养大有裨益。

2.在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识

数学应用意识的培养应贯穿于整个数学教育全过程中。具体而言，在课程目标定位、课程内容设置、教学设计、课堂教学、课后作业、学习评价等数学教育诸环节都应关注应用意识的培养。

首先，应将培养学生应用意识作为数学课程的重要目标，贯穿于数与代数、图形与几何、统计与概率及综合实践等所有领域内容的数学课程中；其次，在教学设计过程中，应联系学生实际和社会生活现实，合理地解读教材、拓展教材，积累素材，研制、开发、生成课程资源；第三，课堂教学的过程中，应同时关注生活情境数学化和数学问题生活化；第四，将定量评价与定性评价相结合，适当设计一定的具有现实生活背景的问题和一些实际操作的内容，既要关注学生应用意识指向的广阔性（能够给出多少合理的数学解答；能发现多少包含数学知识的各种不同问题），又要关注应用意识的主动性（面对实际问题时，能否主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能否主动地寻找实际背景，并探索其应用的价值）。

3.综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

综合实践活动有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授，是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动，其教学目标是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识。

综合实践活动是培养学生应用意识的重要和有效的载体。综合实践活动兼顾“综合性”与“实践性”：一方面，注重学生自主参与、全过程参与（经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程），让学生积极动脑（独立思考）、动手（自主设计解决问题的思路）、动口（合作交流）；另一方面，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。此外，综合实践活动可以以“长作业”的形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，让学生经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。更重要的是，综合实践活动不仅关注结果，更关注学生积累活动经验、展现思考历程、交流收获体会、激发创造潜能的过程。这样，在多种活动形式、多种过程体验及多种评价方式的交融浸润中，更利于激发、促进、培养学生的应用意识。

三、创新意识

对创新意识的认识

创新是21世纪出现频率最高的词汇，它已经普及到几乎每一个领域，当然它也是教育领域最重要的词汇，它是这次课程改革的标志性词汇的代表。

创新的含义是什么？既简单，又复杂。简单地说创新是指做一些新的事情，英文是To make something new。“新”有几层含义，对所有人都是“新”的，称为原创的；或者对某些人是“新”的；也可以对自己是“新”的，自己没有做过的事情。创新能力是指完成创新工作的能力，要求是比较高的；创新意识要求低一些，认识创新的重要，在学习数学的过程中有好奇心，对新事物感兴趣，不断地发现和提出问题，有创新的欲望，尝试去做一些对自己是新的、没有想过、没有做过的事情，用学过的数学方法解决问题。

创新的重要性毋庸置疑，什么时间开始培养学生的创新意识？上个世纪末，世界一批最优秀科学家特别是一批诺贝尔奖获得者倡导在儿童和学校教育中开展“做中学”（“Hans on”）活动，提高幼儿园和小学的科学教育水平，培育科学的思维方式。“做中学”是让儿童和学生参与一些“科学活动”。这种做法的目的之一就是激发孩子的好奇心和激发想象力，培养他们的创新意识。在综合实践活动的解读中我们也详细介绍了一些具体做法。创新意识的培养应该从儿童做起，在义务教育阶段结合年龄特征，寻求适合学生的形式来不断加强。

发现和提出问题是创新的基础。在上个世纪七十年代，数学和数学教育领域开展了一次讨论，讨论的主题是“在数学、数学教育中，什么是最重要的？”——“What is the key in mathematics and mathematical education？”，最主要的是数学的定义、公理？数学的概念？数学的定理？等等。著名数学家Harmous 写了一篇阶段性的总结文章，他的看法是问题是主要的。问题是数学发展的源泉，也是数学创新的基础，研究数学与学习数学在这一点上没有本质的差异，只是深度和难度上的差异。问题可以把思考引向深处，问题可以发现新的思路。

《标准》中的创新意识

在《标准》中，创新意识是此次修改新增加的一个核心概念。标准指出“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。”我们应该注意以下几点：

1．创新意识培养应贯穿数学教育始终

正如前面所指出的，创新意识应该从儿童开始培养。对于孩子来说好奇心是天性，他们有很多很多的问题，他们对一切都感到新鲜、富于想象。保护、激发他们这些好奇心是教师的职责。这些是最宝贵的东西，这些就是学生创新意识的基础。随着年龄的增长，他们需要学习很多新知识、新技能，学习的目的是帮助他们产生更多的问题，解决更多的问题，是使他们的思想更活跃、更丰富。在学习过程中，做一些习题是必要的，目的是帮助学生更好理解和掌握知识和技能。长期以来我们数学教育中存在的一个问题是，过多的、盲目的、仅仅为了应对考试的习题训练，束缚了学生的思维，压抑了他们的好奇心和想象力，以至于很多同学（甚至成绩很好的同学）只有不会做的习题，却提不出有价值的问题。

当代著名的数学和数学史专家M.克莱因也批评了这种现象：”数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。(M.克莱因《西方文化中的数学》，复旦大学出版社，2005）

数学教育应该启发人们的思维，培养学生的创新意识。当然，培养学生创新意识不仅仅是数学教育的任务，而是整个义务教育的任务。正如前面指出的：问题是数学中最重要的，通过问题意识培养，激励、焕发学生潜在的创新精神是数学教育应该做的中心工作。

2、从“分析与解决问题”到“发现与提出问题”

20世纪70年代，在数学教学大纲中提出了培养学生“分析和解决问题的能力”。在高中数学课程标准（试验稿）中，又明确提出“提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力”，并把它作为数学课程的目标之一。在此次次义务教育数学课程标准修改中，把“发现和提出问题，分析和解决问题”作为了数学课程总体目标的表述内容，即：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”从强调“分析与解决问题”到不仅强调“分析与解决问题”，还要强调“发现与提出问题”，这是数学课程目标的一个发展，其实质就是重视创新，重视学生创新意识的培养，这应该成为基于时代发展要求之下的数学教育的魂。

学习数学必须有问题，没有问题学不好数学，不仅要能解决别人的问题，更重要自己要有问题。学习数学的定义、概念，总要问为什么需要它？它与前面所学的什么有联系？它与实际生活有什么有联系？在学习数学的技能、方法、思想时，更需要深入发问，在回答中不断思考，不断理解，不断深入。在数学和实际的情境中，也需要提出问题的意识。问题是创新的基础，在义务教育阶段，培养学生的问题意识是培养学生创新意识的好办法。

3、根据年龄特点——在日常教与学中不断积累经验

创新意识培养不能一蹴而就，需要不断地实践，不断地积累经验。在课堂上做，在学习中要求，在教学的各个环节上不断地帮助学生积累。在培养学生创新意识时，应该充分考虑不同年龄的学生特点，对低龄学生，结合他们生活经验，引导他们关注一些身边的事物，发现一些有趣问题，引起思考的问题，例如，在学习角时，引导他们观察、讨论那些角是最常见的角——直角，进而讨论如何利用直角去区分其他的角？经过一段学习，又可以讨论为什么直角是最重要的角？随着年龄增长，引导学生从“感性”提出问题逐渐向“理性提出问题过渡，不断积累提出问题，提出好问题的经验。在初中阶段，可以让学生尝试着从实际生活情境和数学情境中独立地提出问题，判断问题的好坏。

4、“综合与实践”活动是培养创新意识的重要载体

“综合与实践”活动是培养创新意识的重要载体，这一点在“综合与实践”内容解读中做了详细的论述。教师要充分发挥综合与实践是“以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动”的特点和功能。让学生在此类活动中经历观察、实验、归纳、抽象、概括、猜想等多样性的活动，经历发现问题、提出问题、进而分析、解决问题的全过程。尽量使这样的过程给学生创新意识的孕育留下了非常丰富的“营养”，希望教师在日常教学中把这件事做好。

“创新意识”培养

1、鼓励“质疑——发现和提出问题”

学会学习的一个重要环节是学会质疑——发现和提出问题。我国著名数学家丁石荪曾说过：没有问题的学生不能算是好学生。保护学生发现和提出问题的积极性，就像保护学生的好奇心一样，非常重要。学生可能一下子不会把问题说清楚，这需要老师耐心引导，了解学生是教师的基本功。鼓励学生提问应该贯穿在教学的各个环节中，无论是在课堂上，还是在日常学习中，都应该鼓励学生提出他们的问题。问题可以是自己的疑惑，可以是自己的困难，也可以是自己的一些发现，等等。发现和提出问题是需要氛围的，需要发问的“气场”，这就希望教师营造一个好的学习环境，让学生在这样的环境中活跃起来，敢于提问，敢于发表自己的观点，敢于讨论，敢于坚持。

2、鼓励“在做中积累经验”

有些事情是可以教的，但创新意识不是靠教出来的，是“做出来的”，是学生在各个教学环节中不断亲身经历、不断锻炼，不断积累而形成的。因此，教师要坚持在“做”中去培养学生的问题意识、从而逐步提升学生的创新意识。

3、老师要带头

凡是要求学生做的，教师要带头，教师在教学的各个环节中应该要求自己有问题，能够提出问题，并通过提问引导教学不断深入。在新课程推进中，教师在这方面积累了很多很好的经验，如，问题驱动式的教学、问题串式的教学，还有“问题课程”等等。希望广大教师创造出更多的好经验。