一、数学学习的基本形式

（一）机械学习与有意义学习

学生学习数学，主要是掌握前人积累的数学知识，而这些知识是用语言文字符号来表示的。学生只有经过积极的思考，正确理解这些符号所代表的数学内容，才能将其转化为自身的精神财富。如果某学生在学习时，不理解一些符号所表示的意义或方法，仅仅记住这些符号的组合或词句，例如，只记住了乘法口诀，并不理解它的意义，那么这种学习就是所谓的机械学习。如果经过思考，理解了由符号所代表的数学内容和方法，并能融会贯通，那么这种学习就是所谓的有意义学习。所以根据学习的深度，可把学习分为机械学习和有意义学习两类。

因为数学知识具有逻辑性、系统性，并具有丰富的思想方法，所以数学学习基本上是有意义学习。当然，在数学学习中，也不排斥机械学习，在某些情况下这是需要的。为了帮助学生记忆，可以运用“顺口溜”、反复朗诵等方法来帮助学生记忆。但是，必须注意，上述这些帮助记忆的方法，只能是辅助性的，切不可用来代替有意义学习。因为这些方法只有助于“记”，而不能表明各个结果是如何推导出来的，也不能概括这些结果的意义。

有意义学习要靠理解。这里所讲的理解，是指符号所代表的新知识与学生头脑中已有的适当知识（概念、原理、公式、定理等）建立了非人为的（非任意的）和实质性的（非字面的）联系。这里所谓非人为的联系，就是符号所代表的新知识同原来知识的联系。例如，要使乘法概念的学习成为有意义的学习，就要把乘法概念与原先头脑中几个相同的数连加的概念建立联系。所谓有实质性联系，指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系。

（二）接受学习与发现学习

机械学习与有意义学习是根据学习的深度来区分的。如果根据学习的方式来分，小学生学习数学可以分为两种基本的形式：一种是有意义的接受学习，一种是有意义的发现学习。接受学习是指学习的内容已经以定论的形式展示给学生，条件、问题以及推导过程已叙述得很清楚，不需要学生去独立发现，只要能主动地从自己原有的认知结构中检索适当的知识与之相联，进行加工，从而扩大或改组、重建认知结构。发现学习则是指学习的结论未呈现给学生，要靠学生自己独立发现其间的数量关系、图形的特征，自己去发现结论。小学阶段的发现学习往往是在教师适当的引导下进行的，所以又常常被称之为“有指导的发现学习”。

无论是有意义的发现学习，还是有意义的接受学习都是小学数学学习中重要的学习方式。一般来讲，如果要学习的概念、法则、结论等学生能够去发现的，就应该尽可能地采用发现学习或有指导的发现学习，如果学习内容没有必要让学生亲自去发现，也不容易被发现，则可以采用有意义的接受学习。可能有些老师会问，在接受学习中学生是否容易被动地学习，而在发现学习中学生更能够主动地学习。我们说，设计得很好的接受学习同样能有效地激发学生学习的主动性，而相反，如果在发现学习中创设的问题情境、提出的问题、或活动的组织等不恰当的话，也可能会导致学生被动地学习。另外，发现学习和接受学习在一节课中也不是截然分开的，更多的情况是两者交替进行，在接受中有发现，在发现中有接受。问题的关键是要抓住学生数学学习的特点，辨证地去看待学生的这两种学习形式，这样学生接受的时候才能够主动地去接受，发现的时候也能够真正地有所发现。

二、小学数学学习的一般过程

小学数学学习的过程是新的学习内容与学生原有数学认知结构相互作用，从而形成新的认知结构的过程，根据认知结构的变化，小学数学学习过程可以从总体上划为三个阶段：习得阶段、保持阶段、提取阶段。

习得阶段的任务首先是给学生提供新的学习内容，给学生创设适当的学习情境。创设学习情境的关键是使学生原有认知结构与新的学习内容之间产生适当的认知冲突，从而引起学生的学习需要，激发其学习动机。

在新的学习内容输入以后，学生原有的数学认知结构与新的学习内容之间便会相互作用。这种相互作用有同化和顺应两种基本形式。

所谓同化就是把新的学习内容纳入原有认知结构中去，从而扩大原有认知结构的过程。例如，小学生掌握了整数的加、减运算以后，再学习整数的乘除运算时，学生可以用整数加减的意义来理解整数乘除的意义：乘法是加法的综合，除法是减法的综合。

所谓顺应，就是在数学学习中，已有的认知结构不能接纳新的学习内容，必须对原有认知结构进行重组，以适应新的学习内容的过程。例如，学生在掌握了常数的运算以后，引入简易方程的运算。尽管方程中的未知数是一个常量，但由于学生在以前的运算活动中没有见过对一个未知数进行运算。因此，学生必须改变原来的认知结构，将常数运算的认知结构改变为常量运算的认知结构，才能理解方程的意义。

同化和顺应是学习过程中原有数学认知结构与新的学习内容相互作用的两种不同方式，它们常常存在于同一学习过程中，只是侧重点不同而已。上面所说的乘除运算的学习，对运算方法的意义而言是同化，而从运算的方式上来看则包含顺应。

保持阶段实质上是在第一阶段产生新的数学认知结构雏形的基础上，通过练习等活动，使学习的知识得到巩固，初步形成新的数学认知结构的过程。通过这一阶段的学习，学生学到了一定的技能，使新的知识与原有的认知结构之间产生较为密切的联系。

提取阶段是学生利用习得的知识，通过解决数学问题，使新的知识完全融化于原有的数学认知结构之中，形成完善的认知结构的过程。通过这一阶段的学习，学生的能力得到进一步的发展。

三、小学数学知识的学习

儿童数学学习的过程是建立在他们校内、校外经验基础上的一个主动建构的过程。随着儿童的成长，他们从学校里所获得的经验会比在学校外的日常生活中所获得的经验更多、也更重要。正是基于这些校内、校外的经验，学生才能够通过从事各种有关解决问题、探索、合作与交流等活动，并在活动中将新旧知识联系起来，思考现实中的数量关系和空间形式，由此发展他们对数学的理解。数学学习的过程一般包括感知、理解、掌握三个环节。

（一）感知

感知是数学学习的初始环节，是指通过观察、动手操作等活动，让学生对提供的数学材料、数学事实进行最初步的区分和认识。其目的是向学生提供学习抽象知识的认识支柱。但是，由于数学内容的高度抽象性，往往掩盖了它们与具体内容之间的关系，教学中常常忽视了感性认识在数学学习中的作用。

观察是一种有目的、有计划、有步骤、比较持久的感知活动。数学学习中的观察，就是有意识地感受数和形的特点以及它们的相互关系。例如，在《物体的认识（一）》这一课中，教师预先安排学生收集身边的一些常见的物品，如牙膏盒、魔方、糖盒、皮球等。在课上，教师请同学们将他们带来的物品在小组内交流，并通过小组合作将这些物品分分类。分类的结果可以是不一样的，可以按材料分，可以按大小分，也可以按形状分。通过小组间的汇报交流，最后教师引导学生将注意力集中到按形状分的情况。通过这一分类活动，实际上教师是在引导学生获得对长方体、正方体、球和圆柱的初步感受。

儿童对数学的体验主要通过动手操作。动手操作是指对通过实物、图形、表格或符号表达出来的数学观念进行操作的活动。例如，在《角的认识》中，教师有意创设了这样一个情境，给每个学生一个布口袋，口袋里放了一些物品，让学生从中摸出一个角。在学生纷纷举着自己摸出的角之后，教师说，“看你们都摸得这么好，我也想摸摸。你们能给我说说你们是怎么摸出角来的吗？”孩子们说，“角有一个尖点，扎得慌。”老师伸手摸出一个图钉；孩子们又说，“角还有两条边。”老师伸手摸出的却是一只削得很尖的铅笔；孩子们急着又补充道，“角是平平的。”老师摸出了一片树叶，“尖尖的，平平的，怎么没有角？”孩子们回答说，“两条边应该是直直的。”这回老师摸出了一个三角板，老师真诚对同学们说，“谢谢你们帮我找到了摸角的感觉。”我们可以看到，教师是在有意识地引导学生进行体验，使学生认识并抓住角的关键特征。

通过动手操作，不仅有助于儿童加强数学与生活的联系，而且对于儿童在未达到抽象思维水平之前通过自主探索的形式学习数学成为可能。自主探索是指通过猜想、实验、验证和推理等一系列活动，学生自主地发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系。例如，学习圆周率这一内容时，教师首先让学生测量一些圆形的周长与直径，并让学生求出周长与直径的比率，通过这一系列的探索活动使学生发现，圆周长与直径或半径之间的比率总是3倍多一点。

不过，值得教师们注意的一点是，我们必须认识到儿童对可视化事物的操作与他们头脑中的思想未必是相联系的，我们有时从数学的角度认为儿童在从事有关数学的活动，但他们未必意识到这一点。也就是说，感性水平的操作不一定导致对数学意义的理解，虽然它在一定程度上有助于促进儿童对数学意义的理解。一个完整的数学学习过程，还需要儿童在感知的基础上，对数学意义进一步加以理解与反思。

（二）理解

所谓理解，就是在感知的基础上，通过分析、综合、抽象、概括，逐步掌握概念的基本特征或规律的实际含义，达到理性认识。在小学数学学习中，弄清概念、明确公式、定理、法则的条件和结论都可以称之为理解。

学生对数学材料的理解是一个逐步深入的过程。例如，《物体的认识（二）》中，教师首先组织学生对物体进行分类，学生将圆柱、三棱柱、四棱柱、六棱柱分为一类，将圆锥、三棱锥、四棱锥和六棱锥分为一类，这时教师指出像圆柱、三棱柱这样上下一般粗的物体叫柱体，像圆锥、三棱锥这样的物体叫锥体。接着教师便鼓励学生试着给每个立体图形起一个自己认为比较合适的名字。有的学生给三棱柱取名为三角柱，理由是底面是一个三角形，又是一个柱体，所以叫三角柱；还有的学生给四棱柱取名为四边柱，理由是底面是一个四边形等等。教师对学生的这些“创造”首先称赞它们都挺有道理的，但又没有给予明确的肯定或否定，然后请同学们看黑板上出示的一个“棱”字，引导学生认识什么叫棱，数一数物体上的侧棱有几条，再请学生重新统一一下意见，对各物体重新命名。学生很快正确地说出了各立体图形的正确名称。显然，学生在这段教学活动中获得的是对立体图形名称的真正理解，而不是死记硬背。

与理解常常联系在一起的是反思。所谓反思，是指通过批判、推断、概括、抽象化等思维活动，将新知识在头脑中进一步完善、丰富和系统化。学生在理解的基础上进行反思，反过来通过反思又促进理解。比如，在学了各立体图形的名称之后，教师请同学们找出所有的长方体，又请同学们找出所有的四棱柱，结果发现同学们找出的不太一样，有的同学找出的物体中还包含正方体，老师便反问道：“这是怎么回事呢？”促进学生反思长方体是一种特殊的四棱柱，正方体是一种特殊的长方体。

为了促进儿童的理解与反思，合作交流是一种重要的学习方式。它提供给儿童解释和反思他们在完成所分配的任务时所进行的思维活动的机会，而这里的交流既包括口头的交流，即讨论，比如，在通过实物解决了有关加法和减法的问题之后，儿童需要充分地交流他们用不同的方式表达加法的意义，比较各自的区别与联系，进一步说明自己的观点或修正自己的认识，推断出新的观点，并将各种观点进行概括或抽象，也包括书面上的交流，比如安排学生在数学日记里写下有关自己如何思考的报告。

（三）掌握

掌握是指在理解的基础上，通过练习，形成技能，把对象运用到新的情境中，解决有关问题。记忆和练习对于数学知识和技能的掌握来说必不可少，因为有些问题的解决需要立即提取所需的信息，包括数学事实、公式、定理等，或要求某些基础技能如表内加法、乘法达到相对自动化。因此，在理解的基础上进行记忆和练习是数学教学的重要任务。教师应注意采取多样化的形式，避免单纯、机械地重复造成枯燥感和厌烦感。比如，乘法口诀朗朗上口，是我国计算比国外处于优势的一个原因，因此表内乘法要求人人熟练掌握，达到脱口而出的程度。在组织学生记忆时，可采取多样化的形式，如两个小朋友相互对口令，你说，“七八”，我说，“五十六”等等。或者设计成找朋友的游戏，如找出乘积是“16”的乘法口诀做“16”的朋友，可以有“二八十六”、“四四十六”等。通过多样化的形式既保障一定的练习量，又有效地调动了学生的学习积极性，有时还有助于促进学生思维的发展。

数学学习的最终目的还是看学生能否运用所学的知识去解决问题，尤其是一些简单的实际问题。应用的过程实际上也是一个促进知识和技能掌握的过程。解决问题为儿童提供了应用知识的机会。问题解决中提供的数学任务如果与学生的生活实际密切联系，并且充满趣味或富有挑战，还会有助于发挥儿童的自主性，并提升他们学习数学的内部动机。比如，教师在教学生记忆了“时、分、秒”之后，设计了这样一个生活情境：小明7：00起床，2分钟洗脸、3分钟刷牙、把牛奶和面包一起放进微波炉转5分钟，15分钟吃完牛奶和面包，10分钟走到学校，问他能否在7：30准时到达学校。通过这样与实际结合的应用情境，既促进学生运用所学的“时、分、秒”的知识计算出所用的时间，同时又培养了学生如何合理地安排时间。

总之，数学学习过程的三个环节，充满着观察、操作、实验、猜测、验证、推理、反思、交流、解决问题等丰富多样的活动。除此之外，儿童数学学习过程还需要学习动机的激发。学习动机直接影响学生的数学学习，并贯穿着学习过程的始终。当前的动机理论强调学生对数学的认识，较大地影响着学生学习的动机，并且改善儿童对所从事的数学任务和自我的认识，动机理论将有助于提升儿童学习的主动性和积极性。本章的最后一节将对此问题做进一步讨论。

总之，数学知识建构的过程是一个循序渐进的过程。一个数学意义的形成需要数日、数周、数月甚至数年，这就需要教师给每个学生的学习提供充足的时间，重视学生经历、体验和探索的过程，鼓励学生动手实践、自主探索、合作交流，让学数学的过程成为“做数学”、“用数学”和“再创造”的过程。

四、小学数学学习中的迁移

迁移是指一种学习对另一种学习的影响。例如，分数的认识和学习，有助于小数的认识和学习；估算技能的提高有助于数的观念的形成。这些都属于迁移现象。不仅仅如此，除了知识的迁移外还有动作技能、情感、态度等方面迁移。所以，迁移问题的研究不仅局限于知识的学习，其他很多领域的学习之中都存在着迁移现象。

迁移可分为正迁移和负迁移。前者是指一种学习对另一种学习的促进作用，后者是指两种学习间的干扰作用。这样看来迁移是个中性词，但人们通常习惯于用“迁移”一词来指代正迁移。所以，迁移作用一般是指促进作用。

迁移还可分为顺向迁移和逆向迁移。假定学习A在前，学习B在后，学习A对学习B的影响即为顺向迁移；反过来，学习B对学习A的影响即为逆向迁移。

（一）影响数学学习迁移的因素

1、学习材料之间的共同因素

根据桑代克的有关理论，两种学习之间要产生迁移，关键在于发现它们之间的一致性或相似性。而在实际的学习之中，知识之间的共同因素往往潜藏于内部，这就要求学生具有一定的辨别能力。要培养学生的这种能力，作为教师应给学生尽可能多地提供练习认识事物之间同一性或相似性的机会，并使学生逐渐形成寻找事物之间共同之处的习惯。有实验表明，迁移量不仅取决于两种学习之间固有的同一性或相似性的数量，而且还与形成感知同一性的定势、寻求同一性的态度有关。

2、对材料的理解程度

现代认知理论主张有意义学习，这种学习和机械学习不同，它强调理解对于知识的保持和应用的作用。一般来说，真正理解了的东西，不论它如何改变，人们总能认识它，因此理解程度直接影响到有关知识的应用和迁移。在有意义学习中，同化论的核心也是解决理解问题。通过对知识之间上下位关系的认识，学生在认知结构的适当地方找到其位置，从而达到理解。同化论的这种观点可以用来帮助我们引导学生加深对所学内容的认识水平，这有助于学生所学知识的广泛迁移。

3、知识经验的概括水平

知识经验的概括水平是影响知识迁移的重要因素之一。正是由于这一点，在教育实际中人们十分强调基本原理、基本概念的学习，这些原理、概念抽象程度高，适用范围广泛，迁移效果明显，学生掌握之后可以用来解决大量的类似或是同类课题。

4、定势作用

定势也称心向，它是指先于一定活动而指向活动对象的一种动力准备状态。定势对于知识迁移的影响既可能是积极的，也可能是消极的。在定势作用与人们解决问题的思路一致时，会对问题的解决产生促进作用；反之会产生干扰作用。因此，在教育实际中，我们要充分利用积极的定势，克服消极的定势，从而提高知识的迁移效果。

5、认知结构的清晰性和稳定性

认知结构是由人们过去对外界事物进行感知的一般方式或经验所组成的观念结构。它的清晰性和稳定性直接关系到新知识学习的效果。现代认知心理学家大都持同化论观点，因此他们十分重视原有知识经验或认知结构在新学习中的作用。

（二）为迁移而教

由于认识到迁移现象在学习中的普遍性和重要性，教育界提出了“为迁移而教”的口号。但如前所述，影响迁移的因素较为复杂，而且，迁移贯穿在各种形式的学习中。为迁移而教并非是一种显性的单一课程，而是教师在充分理解迁移的发生规律及其影响因素的基础上，在每一项教学活动中，在与学生的每一次正规与非正规的接触中都注意创设和利用有利于积极迁移的条件和教育契机，消除或避免不利因素，把为迁移而教的思想渗透到每一项教育活动中去。为此，注意以下教学原则将是有所裨益的：

1、确立明确、具体、现实的教学目标

在每个新的单元教学之前为学生确立明确具体的教学目标，如有可能可让学生一起参与教学目标的制定，并要学生了解某一个阶段学习的目标。明确而具体的教学目标可以使学生对与学习目标有关的已有知识形成联想，即有一个先行组织者，会有利于迁移的发生。

比如，学习圆的周长时，可以让学生说说，看到这个题目时，你想了解点什么，引导学生形成如下的教学目标：（1）什么是圆的周长；（2）怎样计算圆的周长；（3）学习了圆的周长计算公式以后有什么用。

2、注意教学材料和教学内容的编排

在教学内容的安排和教材的编排上，要注意在各个教学单元相对独立的前提下，体现出各单元和各部分内容之间的内在逻辑联系和前后衔接，切忌造成各部分之间的相互割裂。教学层次要合理，在选择教材和教学内容时也应注意避免内在逻辑性差的教材和内容。教学中充分利用教学材料中的内在联系，例如，在学两步应用题教学中，应充分利用教材中两步应用题与一步应用题间的逻辑关系，引导学生产生积极的迁移。对缺乏内在联系的教材，要利用教学进行弥补。

3、在教学中应注意启发学生对所学内容进行概括总结

一方面，在教学中注意引导学生自己总结出概括化的原理、培养和提高其概括总结的能力，充分利用原理、原则的迁移。另一方面，在讲解原理、原则时，要列举最大范围的例子，列举各种变式，使学生正确把握其内涵和处延；同时应结合原理、原则的具体运用情境进行讲解和学习，使学生能脱离学习原理、原则和背景把握其实质并能在遇到该原理、原则适用的背景时，准确地运用原理、原则去学习新知识或解决新问题，即达到对原理、原则的去背景化，以防止学生对某一原理、原则的理解和运用仅局限于习得该原理、原则时的情境的情况。在允许的情况下，尽量让学生在真实情境中去观察、实践原理、原则的应用，如亲自动手操作、调查等；条件不允许或无法亲自观察实践的，教师也应利用直观教具或生动的教学语言，计算机模拟等手段，让学生尽可能地增加感性认识。在这方面，计算机及其附属设备所提供的虚拟现实环境具有较大优势。总之，要将所学与所用的情境联系起来。

4、有意识地教学生学会如何学习，帮他们掌握概括化的认知策略和元认知策略

布朗等人在阅读理解的实验中，用矫正性反馈训练法教给学生元认知策略，结果不仅使学生对阅读理解问题正确反应的百分数明显提高，而且使其学到的元认知策略迁移到了他们的常规课堂的其他学习中。可以说，认知策略和元认知策略是可教的，教师在教学中有意识地教学生一些认知策略和元认知策略将有助于学生学会如何学习，从而促进学习的迁移。