比和比例这部分内容渗透了函数思想，是常见数量关系的发展、概括和提高，对学生进一步学习数学、物理、化学等课程有密切关系，而且在生产、生活中应用广泛。教学时，要特别注意这样的问题。这个专题主要讨论两个方面的内容——

比及按比例分配

正反比例

比和比例的教学内容改革是很大的，主要反映在:——

1.比的概念不仅讲同类量相比，也讲不同类量相比，用“两个数相除又叫做两个数的比”来定义比，这就为正、反比例的改革，与简化比例应用题的解题过程做了准备。

2.定义正、反比例，抓住了两种相关联的量在变化过程中的变化规律和特征(“商一定’‘积一定”)，这就揭示了成正、反比例的两种量的本质属性，从研究函数的高度去讲述正、反比例，有利于学生进一步掌握数量关系，和培养学生的辩证观点。

3.比和比例的书写，强调了用分数的形式，这样的写法与中学教材的书写一致，并有利于理解分数、除法、比之间的内在联系。

4.应用简易方程解正、反比例应用题。改革后的教材根据正、反比例定义，根据两种变量变化的规律直接列出简易方程求解，简化了解题思路和步骤，并使简易方程知识又一次得到应用，应用求一个数的几分之几是多少来解答按比例分配的应用题，也使前后知识融会贯通。

（一）比及按比例分配

比的概念实质上是对两个数量进行比较，表示它们之间的倍比关系，任何相关联的两个量的比都可以抽象为两个数的比。在认识比时，我们应以比的意义的理解为突破口，引导学生进入对两个数关系的探讨，这一过程不是由教师用一两句话去说明，而应由学生在数学活动中充分感悟。教学时应在学生已有的认知基础上通过引导比较两个数量之间的关系，逐步领悟单纯从绝对量的多少进行比较是不够的，有时有一定的局限性，还要用相对量来比较，再根据知识的连接点和生长点，从运用除法比较两个数量之间的关系转入对比的认识，让学生感受到比是两个数之间关系的一种表示形式，从而紧紧扣住比的实质内涵帮助学生初步建立比的概念。

按比例分配在实际生活中有着广泛的应用，它的数学意义是应用比的概念把一个数量按照一定的比来进行分配。教学按比例分配以往较多的是关注如何解决问题甚至是应用不同的解法解决问题，但弱化了对比的意义的理解，教学中教师要注重在解决问题的过程中从理解比的意义出发，既要关注解决问题，又要体会比的应用，以此深化对比的理解。

（二）正比例、反比例

正比例和反比例是一类常用的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。

在现实中，有许多数量关系可以表示为成正比例的量和成反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减少），两个量是成正比例的量。如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例减少（增加），两个量是成反比例的量。如果分别用X和Y表示两个量，前者可以表示成Y=aX(a>0); 后者可以表示成Y=a/X，或XY=a(a>0)。

正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，是让学生具体的感知两个量之间的关系。一是使学生对数量关系的认识和理解更丰富，二是为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。教学中应与实际情境紧密联系，用具体的学生可以理解的方式呈现这个内容，引导学生从数量之间关系的角度，两个量之间变化的规律理解和掌握这个内容。《标准》中的案例说明了教学中应关注的问题。

例29彩带每米售价3.2元，购买2米，3米，…，10米彩带分别需要多少元？在方格纸上把与数对（长度，价钱）相对应的点描出，并且回答下列问题：

（1）所描的点是否在一条直线上？

（2）估计一下买1.5米的彩带大约要花多少元？

（3）小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍？

希望学生感受成正比例关系的一组数对所对应的点在一条直线上，并且能够借助图形进行数据的估计。

教学中引导学生在描点之前，先建立下面的表格，有利于直观地理解正比例关系，并为描点作准备。

长度/米	0	1	2	3	4	5	6	7	……
价钱/元	0	1	2	3	4	5	6	7	……

在过去的教学中，正比例和反比例的内容往往和解比例联系在一起，作为解比例的一种应用，事实上，正反比例关系作为正比例函数、反比例函数的雏形，是刻画现实世界的重要模型之一，也是小学阶段渗透函数思想的重要内容。因此，在新的教学中开始强调学生对于变化的量及变量之间关系的体会，使学生感受到正比例关系和反比例关系是两种重要的刻画变量之间关系的模型。

1.变化的量及变量之间的关系

事实上，在正式学习正反比例关系之前，可以设计学生感兴趣的日常生活或其他学科中的情境，使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系，以及变化之中的不变。其实，学生对于变量之间的关系是有着自己的直觉的。看下面的例子：

一本书有100页，每天看10页，看过的页数和剩余的页数之间的关系，既不是正比例，也不是反比例，那是什么关系呢？

在这个例子中，学生没有简单判断是否为正反比例，而是对变量之间的关系有了探究的兴趣，因为他发现虽然这个例子不符合正反比例，但看过的页数和剩余的页数的和是一定的（是一次函数。）对于学生这样的直觉，教师虽然没有必要介绍一次函数，但要鼓励学生的发现。

要让学生感受到生活中大量存在的变量，可以多设计这样的判断的问题情境。然后提出学习任务：观察每个情境中两种变量是怎样变化的。并让学生进行分类说明。可以设计这样三类情境，一类为两个变量，一个增加另一个也增加，第二类是两个变量，一个增加另一个减少，一增一减，第三类是两个变量，一个增加另一个有时增加有时减少。

学生在这些案例中，可以经历体会变化的量之间有关系——感受到变量之间的关系不同——通过分类关注某一类变化情况的过程，特别是要让学生通过看图、观察表格和数据等方式，直观地感受到变化趋势。对于变量和变量之间的关系的学习，除了为正式引入正反比例做准备之外，它能使学生感受到存在着大量的变量与变量之间的关系，感受到数学在解决问题中的作用，因此它的内容本身也是充满意义和有价值的。

2.正反比例关系。

正比例和反比例是对两个变量的考察，虽然正反比例关系在小学阶段并不要求学生从函数的角度认识，但教师应认识到函数有三种数学表示方法：方格法、解析法和图像法，再加上语言的表示，一共是四种表示方法，这就是通常所说的函数的多重表示。

在了解了什么是成正比例、反比例关系的量之后，我们还要注意对正比例、反比例的教学要求是不同的，标准明确指出通过将正比例关系描绘在有坐标系的方格纸上，加深学生对正比例的认识。而反比例没有图像的要求。对于正比例图像的学习要关注如下几点：

l渗透函数思想，为以后系统学习函数打下基础。

l函数图像是用平面直角坐标系表示的，由于学生没有直角坐标系方面的知识，教材直接呈现正比例关系图像。

l教学时介绍坐标系横轴和纵轴上数据表示的含义，表中的每组数据用点表示。

l认识正比例图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到另一个量的值。

不难发现，教材对于正比例图像的要求是“看”、“描”、“体会”三层意思，都采用如下教学环节：

⑴出示直角坐标系，横轴表示 X 变量，纵轴表示 Y 变量。

⑵根据表格数据描出各点，连接成直线。

⑶观察直线上点的特征，概括“X 越大，Y 也随着变大”。

⑷根据直线，已知一个点的横坐标（纵坐标），判断这个点的纵坐标（横坐标）。

这样的教学过程能使学生从图像上体会正比例两个变量的关系，但由于缺少与条形统计图的对比沟通，学生不能体会“折线统计图能表示连续点”的优势，未能突出正比例函数图像的本质属性。

直线的连续性决定了直线上的任意点都能找到相应的横坐标和纵坐标，而这个特征是条形统计图无法体现的，条形只能找到“单一点”的坐标。其实，函数图像在我们看来，毫无疑问是画“线”的，无论是直线还是曲线。但学生初识函数图像，全然不知。教学时应加强对函数图像属性的渗透，这样能让学生深刻体会：正比例图像画一条直线比条形更有优势。

从正比例的意义来说，两个变量是体现在直角坐标系的横轴和纵轴上的。如果教学中能很好地利用函数图像所具备的这个特性，沟通函数图像和折线统计图的关系，相信学生对于图像内涵的理解会更深刻。这样的处理更有效地衔接了中小学教学内容，为以后学习函数图像埋下伏笔。

3.函数思想的渗透。

在小学阶段虽然没有正式学习函数的概念，但并不代表小学阶段不能有机渗透函数思想。我们对于函数思想内涵的理解包括三个方面：第一，函数是刻画变量与变量之间的依赖关系的模型。函数是以运动、变化的观点反映客观事物数量间的相互联系和内在规律，反映了变化中的不变。第二，函数的多重表示形式，函数常用的表示方法是多种多样的，可以有语言描述法、表格法、图表法、解析法。第三，函数是一种特殊的对应，而对应是连接两类对象的桥梁。

实际上，在小学阶段有不少内容可以作为函数思想在小学数学中的渗透点，例如：探索规律内容中对于变化规律的初步认识；基本数量关系的学习，如两个基本数量关系；图形测量公式中蕴涵的关系，如正方形面积与边长的关系、圆的周长与直径的关系；字母表示数中要体会到含有字母的式子不仅仅可以表示数，还可以表示一种关系；正比例关系和反比例关系是两个重