（二）频率与概率

频率是在某个试验中，事件发生的次数与试验总次数的比，叫作事件发生的频率；概率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性大小，是对某个随机事件发生可能性的一个度量。一般情况下，我们大量重复进行同一试验，当试验次数越多，随机事件发生的频率就越接近一个常数，并在这个常数附近摆动，当试验进行无数次，频率逐渐趋向于一个稳定的值，这时，我们就用这个常数来表示随机事件发生的可能性的大小，称为这个常数为随机事件发生的概率。这是一种极限的思想。

随机事件的频率与概率都是度量随机事件发生的可能性大小的统计特征数，但两者之间又有区别，频率是通过反应事件发生的频数来展现随机事件发生的可能性大小，是一个实际观察或测量到的数，是一个统计意义上的数。而概率是用数学的方法对随机事件发生可能性大小的描述，是一个理论上的数。对于同一个随机事件，在不同的次数的试验中，频率可能会不同，也就是说频率是随着试验次数的变化而变化，频率受到试验次数的影响，只能近似地表现随机事件发生的可能性大小，而概率是一个确定的数值，不会随着试验次数的改变而发生变化，只与随机事件的本质有关，不受试验次数的影响，能够精确地描述随机事件发生的可能性大小，所以我们可以说频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值。

（三）概率的三条公理

概率是对随机事件发生可能性大小的数量描述。概率具有以下三条公理。
1.任何事件的概率都大于等于0，小于等于1，即0≤P（A）≤1。
2.不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1。
3.如果事件A与事件B是互斥事件，那么他们的并事件的概率就等于两个事件的概率之和，即P（A∪B）=P（A）+P（B）。
在义务教育阶段所涉及的随机现象都是简单随机现象，即所有可能发生的结果个数是有限的，并且每一个结果发生的可能性大小相等。在小学阶段涉及随机现象的内容较少，特别是在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中减少大部分内容，其中第一学段已经完全删除随机现象、可能性的内容，而在第二学段只有一部分。虽然这部分内容较少，但并不意味着这部分不重要。在小学和初中让学生应该理解概率的一些基本的概念，建立随机的观念，知道在生活中存在着一些确定的量也有一些不确定的量。 在对《标准》中第二学段关于简单随机现象的要求进行分析，并讨论教材是如何展示随机现象的可能性的。

一、《标准》要求的内容与理解

1．结合具体情境，了解简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果（参见例41）。
2．通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流（参见例41）。
我们可以从两个层面理解《标准》的要求。一是了解简单的随机现象，列出简单随机现象可能性的结果。二是对随机现象发生可能性大小作出定性描述。所谓了解简单随机现象，就是使学生了解在现实世界中有一些现象是确定的，有一些是不确定的。而不确定的现象的发生是随机的。但对于不确定现象可以通过列出可能的结果，以及判定可能结果的大小来认识其规律。因此，让学生感受随机现象，并针对具体的随机现象列出可能的结果是教学中应重点把握的内容。学生能列出可能的结果，就可以进一步判定可能结果的大小，《标准》中只要求用定性的方式描述大小，就是不具体的数量描述可能性的大小。这是因为，小学所涉及的都是所谓的古典概型，古典概型的随机现象可以用一个分数来表示，即有利于该事件的个数与所有可能结果个数的比。如抛硬币正面向上的概率，可以描述为所有的可能结果是2，有利用下面向上的是1，所以概率是  就是0.5。这样就可以用数量的方式描述随机事件的概率。但问题是在实际操作的时候往往得到的是频率，而不是概率。