概率的相关概念

（一）概率的起源

概率源于赌博中的掷骰子，比如，掷两枚股子，考察两枚色子掷出点数之和问题。任意两个色子点数之和是2-12中的任何一个数，哪个数出现的可能性最大？一共有多少种可能性？在近几年概率的应用越来越广泛，越来越受到关注。数学家也开始全面地对概率展开研究，一些著名的数学家，伯努力，蒲丰等都做过抛硬币的实验来研究概率问题，而抛硬币是比较经典的概率问题，因为在抛硬币是最基本的随机事件，可以产生的结果只有两个——正面向上与反面向上，在考察正面朝上的可能性时，需要注意要保正硬币的质地均匀，从而使得每个结果的可能性相等，直到20世纪初，概率论才成为一门独立的数学分支。

（二）频率与概率

频率是在某个试验中，事件发生的次数与试验总次数的比，叫作事件发生的频率；概率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性大小，是对某个随机事件发生可能性的一个度量。一般情况下，我们大量重复进行同一试验，当试验次数越多，随机事件发生的频率就越接近一个常数，并在这个常数附近摆动，当试验进行无数次，频率逐渐趋向于一个稳定的值，这时，我们就用这个常数来表示随机事件发生的可能性的大小，称为这个常数为随机事件发生的概率。这是一种极限的思想。

随机事件的频率与概率都是度量随机事件发生的可能性大小的统计特征数，但两者之间又有区别，频率是通过反应事件发生的频数来展现随机事件发生的可能性大小，是一个实际观察或测量到的数，是一个统计意义上的数。而概率是用数学的方法对随机事件发生可能性大小的描述，是一个理论上的数。对于同一个随机事件，在不同的次数的试验中，频率可能会不同，也就是说频率是随着试验次数的变化而变化，频率受到试验次数的影响，只能近似地表现随机事件发生的可能性大小，而概率是一个确定的数值，不会随着试验次数的改变而发生变化，只与随机事件的本质有关，不受试验次数的影响，能够精确地描述随机事件发生的可能性大小，所以我们可以说频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值。

（三）概率的三条公理

概率是对随机事件发生可能性大小的数量描述。概率具有以下三条公理。

1.任何事件的概率都大于等于0，小于等于1，即0≤P（A）≤1。

2.不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1。

3.如果事件A与事件B是互斥事件，那么他们的并事件的概率就等于两个事件的概率之和，即P（A∪B）=P（A）+P（B）。

在义务教育阶段所涉及的随机现象都是简单随机现象，即所有可能发生的结果个数是有限的，并且每一个结果发生的可能性大小相等。在小学阶段涉及随机现象的内容较少，特别是在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中减少大部分内容，其中第一学段已经完全删除随机现象、可能性的内容，而在第二学段只有一部分。虽然这部分内容较少，但并不意味着这部分不重要。在小学和初中让学生应该理解概率的一些基本的概念，建立随机的观念，知道在生活中存在着一些确定的量也有一些不确定的量。 在对《标准》中第二学段关于简单随机现象的要求进行分析，并讨论教材是如何展示随机现象的可能性的。

一、《标准》要求的内容与理解

1．结合具体情境，了解简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果（参见例41）。

2．通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流（参见例41）。
我们可以从两个层面理解《标准》的要求。一是了解简单的随机现象，列出简单随机现象可能性的结果。二是对随机现象发生可能性大小作出定性描述。所谓了解简单随机现象，就是使学生了解在现实世界中有一些现象是确定的，有一些是不确定的。而不确定的现象的发生是随机的。但对于不确定现象可以通过列出可能的结果，以及判定可能结果的大小来认识其规律。因此，让学生感受随机现象，并针对具体的随机现象列出可能的结果是教学中应重点把握的内容。学生能列出可能的结果，就可以进一步判定可能结果的大小，《标准》中只要求用定性的方式描述大小，就是不具体的数量描述可能性的大小。这是因为，小学所涉及的都是所谓的古典概型，古典概型的随机现象可以用一个分数来表示，即有利于该事件的个数与所有可能结果个数的比。如抛硬币正面向上的概率，可以描述为所有的可能结果是2，有利用下面向上的是1，所以概率是1/2 就是0.5。这样就可以用数量的方式描述随机事件的概率。但问题是在实际操作的时候往往得到的是频率，而不是概率。如下表是几个典型的抛硬币的试验结果。

表8-1 抛硬币正面向上的频率变化趋势

实验者	投掷次数	正面向上的次数	频率
德摩根	2048	1061	0.5181
布丰	4040	2048	0.5069
费勒	10000	4979	0.4979
皮尔逊	24000	12012	0.5005
罗曼诺夫斯基	80640	40173	0.4982

可以看出多次试验的结果都是在0.5之间，但不是恰恰等于0.5.从数学上说明当试验次数无限大的时候，频率走近的值就是概率。而问题是在小学阶段所做的试验次数都是有限的，当学生得不到理论的数值时，就会对结果产生怀疑。对于学生这种怀疑又很难用概率论的理论解释。所以采用定性的描述是合理的。
下面是《标准》中的一个例子，借助这个例子说明对随机现象内容的要求。

将下面这些卡片混在一起，从中任意选取一张卡片，这张卡片可能是什么？

第一、了解简单的随机现象。4张卡片，随机抽出一张？能确定一定是什么吗？这种事件不能确定的现象叫随机现象。

第二、列出所有可能结果。抽出的卡可能是什么？能列出所有可能的结果吗？可能是船、房子或车，3种可能的结果。

第三、定性描述随机现象发生的可能性有大小。随机抽一张，这3种结果哪个结果可能性大呢？抽到船的可能性大。

希望学生在这个过程中理解，因为是任意选取一张卡片，则每张卡片都可能被选取，但事先无法确定哪张卡片一定会被选取，这是一种随机事件。每张卡片被选取的可能性是一样大的，这是一种简单随机事件。如果学生能够很好地理解，则可以进一步提问：这张卡片是船的可能性大呢？还是房子或者车的可能性大呢？可以让学生进行实际操作。

二、教材展示与分析

各版本教材在第二学段都编排了可能性的内容。下面以北师大和人教社两个版本的教材为例，做简要分析。

图8-12北师版四上“可能性”

图8-13北师版五上“可能性”

图8-14人教版五上“可能性”

首先，从体现《标准》要求方面。两个版本的教材编写中采用了不同方式，北师版教材采用螺旋式组织形式，人教版教材采用直线式组织形式。北师大版的教材分两个层次，通过两个阶段来呈现，这可以给学生更多的感受和体验可能性的机会。第一阶段（四上）的重点是感受简单的随机现象，能够列出可能发生的所有结果，通过感受随机现象来体会可能性的大小区别，第二阶段（五上）则是对可能性大小作出定性描述。人教版教材是一次全部呈现，比较集中地把《标准》的几个要求展示出来，可能让学生从整体感受可能性及其大小的描述。

其次，从情境的选取方面。两个版本教材都选用了比较典型的表现可能性情境，如抛硬币、摸球、掷骰子、抽卡片等等。这些情境都可以使学生理解随机现象和可能性的大小。

第三，从呈现方式方面。 北师版教材和人教版教材都是依据《标准》编写的，因此教材的编写理念是相同的。两个版本教材都设计了具体的可操作的情境，让学生参与到学习活动之中，通过实际的活动体验随机现象，理解事件发生的可能性的大小。具体的呈现上，北师版教材分两次编排，分别在四上与五上。人教版则是一次编排，安排在五上。由于概率的知识对于学生较难理解，两次学习过程，会加深学生体验或者经历的体会，对学生掌握概率知识更加有益。可以看出，《标准》是的统一的，教材呈现的方式不一样。教师如果恰当的运用教材从而达到《标准》中的要求需要教师自身去理解和把握，同时实际教学中，也要根据学生的实际情况进行调整。