1．确定一个具有3次代数精度的求积公式

解：由代数精度的定义，将分别代入公式得：

解得：，

该求积公式为：

。

2．熟练掌握插值型求积公式中求积系数的求法。

解：

3．用辛普生公式计算积分，并估计截断误差。

解：设，；

由辛普生公式有：

其截断误差为：

。

4．用定义确定求积公式中的待定系数，并指出该公式的代数精度。

解：由插值型求积公式可知：

所以：；

；

。

将代入公式两边得：左边==右边；

将代入公式两边得：左边==右边；

将代入公式两边得：左边==右边；

将代入公式两边得：左边==右边；

将代入公式两边得：左边=右边。

所以该公式具有3次代数精度。

5．确定求积公式中的代数系数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。

解：将分别代入公式得：

解得：，该求积公式为：

该公式对成立，但对不成立。所以该公式的代数精度为3次。

6．用柯特斯系数的定义式，计算四点求积公式中的柯特斯系数，并写出四点求积公式。

解：由可得：

；

；

；

。

7．应用梯形公式和的复合梯形公式计算积分，并估计误差。

解：由梯形公式可得：

；

余项为：

由，可得：，由复合梯形公式，可得：

；

余项为：。

8．在用复合梯形公式计算时，若要求误差不超过，至少去多大？

解：由复合梯形公式的余项公式得，用该公式计算的误差为：

，所以当时，误差不超过。

9．用的复合辛普生公式计算，并作事后误差估计。

解：由可得，，所以各节点为：

，所以，其余项为

。

10．熟悉用变步长梯形公式求积分以及龙贝格公式的计算过程。

解：变步长求积公式：，

龙贝格算法的计算过程为：

（1）计算，和；

（2）将区间分半，计算，和；

（3）分别将区间，分半，计算， ，

， ，进而计算；

（4）又将区间，，，分半，计算，

，，，

，

，，进而计算。

（5）继续将上述小区间分半，计算出分点处的函数值，并分别计算出 

如此反复可得，直到前后两个的值之差满足给定的精度要求为止。

11．已知积分，为保证积分有5位有效数字，问：

（1）在使用复合梯形公式计算时，至少取多大？

（2）在使用辛普生公式计算时，至少去多大？

解：由，所以由积分有5位有效数字可得积分的相对误差限为

。

（1）由复合梯形公式的余项可得，要达到误差要求即

，解得至少取54。

（2）由复合辛普生公式的余项可得，要达到误差要求即

，解得至少取2。

 

12．试构造两点高斯公式，并由此计算积分。

解：由2次勒让德多项式可得，，即为高斯点。再由

得。所以两点高斯公式为： 。

令，当时，当时，，于是