1：用迭代法求方程x5－4x－2＝0在的最小正根，使敛代误差不超过。

解：建立迭代格式

(可任取1，2之间的值)

1.431 0     1.505 1

1.516 5  1.518 2

1.5185

　取1.5185

2：应用牛顿法试导出一个求迭代求解公式。

解：显然为方程的根,于是有迭代法

3：利用适当的迭代格式证明：

证明：考虑迭代格式

则：，，

，当时，；，因此迭代收敛。

4：迭代法收收敛于，此迭代式是         阶收敛

解：，，，

，，二阶收敛。

5：要使迭代式局部收敛到，则的取值范围是             。

解：，迭代式收敛即要求

6: 求的根的牛顿迭代格式是                        。

解：（牛顿迭代式）

7：应用牛顿迭代法求方程的根的近似值，其收敛阶为        。

解：为方程的重根，因此，收敛阶为1。

8: 证明：对任何初始值，由迭代式所产生的序列都收敛于方程的根。

证明：，则

先考虑区间，当时，，，故迭代式所产生的序列均收敛。

对任何初始值，有，将看成新的迭代初值，则由知其必收敛。

9：试确定常使迭代公式产生的序列收敛到，并使其收敛阶尽可能高。

解：迭代函数，根据高阶收敛定理，要使迭代序列收敛的阶尽可能高，应使，

由得：，即；

由得：，即

由得：，即

综上可得满足方程，从而，而且，故迭代公式具有三阶收敛性。

10: 用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根，取。保留5位小数点计算至。

解 f(x)= x3－x2－1，f(1)=－1，f(2)=3，有根区间取[1，2]。

迭代公式为: (k =1，2，…)

1.37662

148881

146348

1.46553

取1.46553，f(1.46553)»－0.000145

11:　对为的一个不动点，验证的迭代对不收敛，但改用Aitken方法却是收敛的。

证明：由于，当时，，且有在与0之间，

若，时，迭代不收敛。

若改用Aitken方法，可得，据局部收敛定理知，知其局部收敛于不动点0。

12：设，利用Newton法求平方根，并证明迭代公式对均具二阶收阶性。

解：令. 即的根，则Newton公式为：　　　

无论或时均有:，即

假设任意，，,即从开始，且　　，从起是一个单调递减有下界的序列，由数列收敛定理知｛｝有极限.令可得，这就说明了只要，迭代总收敛到,且是二阶收敛.