本章练习答案
1 用顺序消去法解线性方程组
解：顺序消元
于是有同解方程组：
回代得解： x3=－1， x2=1，x1=1。原线性方程组的解为X＝(1，1，－1)T。
2：
，当
满足 时，顺序高斯消元能进行到底；当
满足 时，方程组
可用顺序高斯消去法求解。
解：
；
且
3：以二元线性方程组
为例，说明Gauss消去法求解时为什么要选主元？
解：
，其中
若
有误差
，
有误差
，则Guass消去结果如下：
比较以上两式知第一行的误差
，
放大了
倍传到第二行，当
，则可能
，误差放大了，且有可能造成大数吃小数现象。因此消元时应使
4：设
为
阶非奇异矩阵，且有三角分解
，其中
为单位下三解阵，
为上三角阵，求证：
的所有顺序主子式均为零。
分析：因为要证
的所有顺序主子式均不为零，故把
按分块的形式写出比较好，再由
的非奇异性即可推证。
证明：设
将
按分块形式写出则有：
从而由矩阵的分块乘法有：
因为
非奇异，故：
从而
，即
非奇异，
的所有顺序主子式均为零。
5：非奇异矩阵不一定都有
分解。
解：令
，显然
非奇异，若
有
分解，则有：
比较等式两边元素得
，显然矛盾，故非奇异阵
不能进行LU分解。
6：取初始向量X(0)=(0，0，0)T，用雅可比迭代法求解线性方程组
解：建立迭代公式
(k=1，2，3，…)
第1次迭代，k=0， X(0)＝0，得到X(1)＝(1，3，5)T，
第2次迭代，k=1，
，得到 X(2)＝(5，－3，－3)T
第3次迭代，k=2，
，得到X(3)＝(1，1，1)T
第4次迭代，k=3，
，得到X(4)＝(1，1，1)T
7：用高斯列主元消去法解线性方程组
作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
解 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到
是应填写的内容。
8：用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组
的迭代格式中
＝
(k=0，1，2，…)
解 高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。答案是：
9：已知方程组
（1）证明高斯－塞德尔法收敛；
（2）写出高斯－塞德尔法迭代公式；
（3）取初始值
，求出
。
解：（1）因为
严格对角占优矩阵，所以高斯－塞德尔迭代法收敛。
（2）高斯－塞德尔法迭代公式为：
（3）取初值
，计算得
，
，
10：当( )时，线性方程组
的迭代解一定收敛。
(A) a<7 (B) a=4 (C) 
<4 (D) ½a½>7
答案：(D)
解：设A＝
当
时，称A是严格对角占优矩阵，当½a½>
时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，迭代解一定收敛。
11：用紧凑格式对矩阵
进行的三角分解，则
＝（ ）
A．1 B．
C．–1 D．–2
答案：(A)
12：
，证明
是
的范数
证明：
（正定性），
，至少
，从而
，则
（奇次性），
，则
（三角不等式）
，
，综上得证。
13：
，
，
。
答案：
，
14： 
，则A的谱半径
答案：
15：设
为
阶非奇异阵，
表示矩阵的任何一种算子范数，试证：
证明：
为算子范数，
，有
，从而
16：向量
，
是不是一种向量范数？
是不是一种向量范数？
解：
是一种向量范数，因为满足向量范数的三个条件，而
则不是一种向量范数，首先不满足正定性要求，
，如取
，但
17：
，证明：
证明：
又
18：试证明G-S迭代矩阵
至少有一个个特征值为0
其中
。
证明：易知
，从而有
，显然
为奇异阵，当
时，其特征方程
显然成立，即0必是
的一个特征值，得证。
19：给定线性方程组
，
，用迭代公式
求解
，间取什么实数
可使迭代收敛？什么
可使迭代收敛最快？
解：所给迭代公式的迭代矩阵为
其特征方程为
即
从而
（通过做图可看出）
当且仅当
所以取
迭代收敛，当
时，
达到最小值
，此时收敛最快。
20：讨论用Jacobi法和Gauss-Seidel方法解方程组
时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中
解：易求出
，因此两种方法均收敛，因
，故G-S法收敛速度较快。
21：设
，试求Jacobi及G-S法迭代矩阵
解：
解法1（矩阵运算）：
，
解法2（定义导出）：
Jacobi迭代法为：
，即
从而
，其中
G-S迭代法为：
，注意此迭代式中右端仍含有上标为
的分量，不满足
形式（右端不含任何
），故不直接整理出
，可将第1式代入第2、3式从而消去2、3式中的
，再将第2式代入式3，消去式3中的
，得等价迭代公式：
，即
，其中
22：设
为
阶非奇异矩阵，求证：
的解总能通过GS法得到。
证明：因
为非奇异，故
与
一定是同解方程组，
对称性显然，若能证明
正定，即说明解
的GS法收敛。
设
，则因
非奇异有
，从而：
，故
正定，从而例题得证。