6.9 病态方程组和迭代改善法

6.9.1 病态方程组

考虑线性方程组

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （6.9.1）

假设为非奇异矩阵， 为方程组的解。在应用问题归结为求解方程组时，其系数矩阵和可能有某些观测误差，或者，是计算的结果，从而包含有舍入误差。下面我们研究数据或的误差对方程组解 的影响。

例20　设有方程组

其解为,现考虑常数项有微小的误差，即，其中，得到一个扰动方程组

其解为。

此例说明，方程组常数项分量只有微小变化（1/100），而方程组的解有较大的变化。也就是说这个方程组的解对于问题的数据b很灵敏。这样的方程组就是病态方程组。

下面我们找出能用来刻画方程组病态性质的量，为此，考察（或b）微小误差对解的影响。

首先考察常数项b的微小误差对解的影响。设是精确的，b是有误差的（或扰动），显然，方程组的解与有差别，记为，即有

即　　

于是　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.9.2）

另一方面，由，则有

或　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.9.3）

由（6.9.2）式及（6.9.3）式即得：

定理17 （扰动对解的影响）

（1）为精确解，为非奇异矩阵；

（2）且设

则有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.9.4）

式（6.9.4）说明，当有一相对误差时，引起解的变化。式（6.9.4）给出了引起解相对误差的一个上界，且引起的解的相对误差可能是常数项相对误差的倍。因此，引起的解的相对误差的大小与数大小有关。

下面考察扰动对解的影响。

设有微小误差（扰动），即是精确的，记的解为，即

由于上式即

　　　　　　　　　　　　　　（6.9.5）

设，则由定理9，为非奇异矩阵且有

　　　　　　　　　　　　（6.9.6）

由式（6.9.5）

利用式（6.9.6），则

 　　　　　　　　　　　　（6.9.7）

定理18 （扰动对解的影响）

（1）设，其中为非奇异矩阵，为精确解；

（2）设，且设

则的微小误差引起解的相对误差有估计式（6.9.7），且式（6.9.7）说明，如果数越大，的微小相对误差可能引起的解的相对误差就愈大，因而数的大小刻画了方程组的解对问题数据（或）的灵敏程度。

定义8 （矩阵的条件数）

设为非奇异矩阵，称

为矩阵的条件数（其中取或1或2）。

定义9（病态方程组）

设，其中为非奇异矩阵，如果（相对大的条件数）称为病态方程组，如果相对的小，称为良态方程组。的条件数愈大，方程组病态愈严重。

要注意，方程组的病态性质，是方程组本身的特性。对于病态的方程组用一般的计算方法不容易求得较精确的解。且方程组病态愈严重，求解愈困难。

显然，对任何非奇异矩阵，都有

例21　设，试计算 。

解　　

且　　

所以　

方程组为病态方程组。

定理19（事后误差估计）

（1）设为非奇异矩阵，且是精确解，；

（2）设为的一个近似解，剩余向量,则有误差估计

证明  利用及再取范数，即可得证。

由定理19可知，近似解的精度不仅依赖于剩余向量的大小，且还依赖于的条件数。如果是病态方程组，即使有很小的剩余向量，也不能保证是高精度的近似解。

6.9.2 迭代改善法

设有方程组，其中为非奇异阵，且若方程组不过分病态，又设用高斯消去法（或部分选主元消去法）求得计算解（精度不高），我们希望获得方程组高精度的解，一般可采用下述的迭代改善法，用来改善的精度。

设为用高斯法求得计算解，计算剩余向量

                     （6.9.8）

求解　　

　                　　   （6.9.9）

且计算　

                    （6.9.10）

显然，如果计算和没有误差，则是方程组的精确解。

实际上

但实际计算时，由于有舍入误差，因此我们得到是一个近似解（要求用双精度计算）。

对重复上述过程（6.9.8）～（6.9.10），就求得及，，即可求得方程组的一个近似解序列。当不是过分病态时，通常很快收敛到方程组的解；当过分病态时，可能不收敛于。

例22　用迭代改善法解

解　方程组精确解

且有

于是　

因此，方程组为病态方程组。

(1)用高斯消去法解（用具有舍入的四位浮点数进行计算）且实现分解，即

(2)计算。

求解，或求解

(3)计算。

(4)计算。

迭代改善法：设， 为非奇异阵且方程组不是过分病态。

用数组保存元素，用数组保存三角矩阵，用记录行交换信息，用存放及，用数组存放或。

(1)用高斯消去法（或列主元消去法）计算近似解且实现分解(或)。 

(2)对于

 ①计算（双精度）；

 ②求解（或）；（解两个三角形方程组）

 ③计算。

可以用 控制迭代。