1：用Euler法、隐式Euler法、梯形法及改进Euler法求解 ，取，计算到，并与精确解比较.

解：由于,,

Euler法：

时，.

隐式Euler法：　　

解出　　

当时，

梯法：

　

解出

当时，

改进Euler法:       

    

即

当时，

精确解：，(梯形法效果最好，改进Euler较好：具有相同的误差数量级，其它不好!)

2：用梯形法的迭代格式求的数值解，，计算到

解：梯形公式

迭代式，解为：

3：出用梯形格式的迭代算法求解初值问题　的计算公式，取步长，并求的近似值，要求迭代误差不超过。

解：梯形公式的迭代算法为

，

于是取，有

由，经计算有：      

因　，于是取

则

，于是取 

4：用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2。计算过程保留6位小数。

解h=0.2， f(x)=－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式 

当，x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有y(0.2)»y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8

当，x2=0.4时，已知x1=0.2， y1=0.8，有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4

当 ，x3=0.6时，已知x2=0.4，y2=0.6144，有y(0.6)»y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)=0.8

5：用改进的欧拉法（预报－校正公式）求解初值问题，取步长h=0.2，计算 y(1.2)，y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位。

解 步长h=0.2， 此时f(x，y)=－y－y2sinx

欧拉预报－校正公式为：

有迭代公式:

当=0，x0=1， y0=1时，x1=1.2，有

当=1，x1=1.2， y1=0.71549时，x2=1.4，有

=0.52608

6：写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。

解 此处f(x，y)=8－3y， 四阶龙格－库塔法公式为

                       

其中 k1=f(xk，yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)

本例计算公式为：

其中 k1=8－3 yk；k2=5.6－2.1 yk；k3=6.32－2.37yk;  k4=4.208＋1.578yk

当x0=0，y0==2，