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第二节 单因素方差分析

　　单因素方差分析，其目标是检验水平均值μj是否相等，如果相等，则我们说该因素对X不产生影响，反之，就认为该因素对X存在影响。单因素方差分析的步骤如下文所述。

　　一、建立假设
　　方差分析的第一步是建立假设。以饮料颜色对销售量的影响为例，针对我们关心的问题提出原假设和备择假设。
　　H0：μ₁=μ₂=μ₃=μ₄颜色对销售量没有影响
　　H1：μ₁，μ₂，μ₃，μ₄ 不全相等，颜色对销售量有影响。
　　注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等。

　　 二、计算水平均值
　　令表示第j种水平的样本均值，则 式中：xij为第j种水平下的第I个观察值；nj第j种水平的观察值个数。 计算总均值的一般表达式为：
　　总均值：是所有观察值的总和除以观察值的总数，即
　　　　（注：各个样本容量相等）

　　三、计算离差平方和
　　在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。
　　1.总离差平方和。用SST（Sum of Squares for Total）代表，即
　　
　　2.误差项离差平方和（组内），用SSE（Sum of Squares For Error）代表，有时也用Within来表示组间即SSW，以SSE为例其计算公式为：
　　
　　SEE或SSW反映的是水平内部，或组内观察值的离散状况，实质上反映了随机因素带来的影响。
　　3.水平项离差平方和（组间）
　　若把单因素方差分析中的因素称为A或b，则水平项离差平方可以用SSA（Sum of Squares for factor A）或中间（bossom）即SSb表示。以SSA为例的计算公式为：
　　
　　说明：用各组均值?? 减去总均值? 的离差的平方，乘以各组观察值个数nj，然后加总，即可得到SSA，它的表现的是组间差异，其中即包括随机因素，也包括系统因素。
　　
　　SST，SSE，SSA之间的关系：SST=SSE+SSA
　　证明：∵在各组同为正态分布，等方差条件下，等式右边 最后一项为零。则有：
　　SST=SSE+SSA

　　四、计算平均平方
　　用离差平方和除以自由度即可得到平均平方。对SST来说，其自由度为n-1。对SSA来说，其自由度为r-1，这里r表示水平的个数。对SSE来说，其自由度为n-r。SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：
　　n-r=(r-1)+(n-r)
　　所以：对于SSA或SSb，其平均平方MSA或MSb为：
　　

　　对于SSE，其平均平方MSE或MSW为：
　　

　　

　　五、方差分析表
　　F值的计算为：
　　把前面一系列有关计算结果列成表格的形式，称为方差分析表。
　　表7-1　方差分析表

　　六、统计决策
　　把F值与Fa值比较：
　　若F＞Fa拒绝原假设，则接受备择假设。
　　若F＜Fa接受原假设。

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