从那时起，两个问题一直萦绕在他的脑中：

“数学式的思维”表示什么意思？

我们如何帮助学生进行数学式的思维？

这两个问题促使舍菲尔德开始了长达十年的实验和研究。1974年至1985年，他在波利亚思想的启发下对数学问题解决进行了深入、透彻和系统的研究。他在常年开设关于数学问题解决课程的同时，进行了大量的有创意的实验和案例分析，并在此基础上进一步发展了波利亚的数学问题解决的思想，系统论述了影响问题解决的四个要素（认识的资源、探索法、控制、观念），提出了许多具有普遍意义的观点和建议，其主要成果都汇集在1985年出版的名著《数学解题》(Mathematical Problem Solving)中。这本书使他成为在国际数学教育界有重要影响的数学问题解决专家。

舍菲尔德通过长期的实验研究和个案分析，认为在众多影响数学问题解决的因素中的主要因素为：认识的资源、探索方法、调节和观念系统。

（1）认识的资源

即解决问题时个体所拥有的数学知识、已掌握的事实和算法。显然，“问题解决”以一定的知识为必要条件，但舍菲尔德强调的是知识的表述方式，知识的良好组织。事实上，波利亚也曾明确地提出了这一思想：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要。”

学习的认知理论把学习者头脑中的数学知识结构称为数学认知结构。数学认知结构是指学习者头脑中的数学知识，按着自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。人的思维依赖于必要的知识和经验。数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借。但是，仅仅在头脑中存在知识，并不能保证它能得到有效的应用，丰富的知识并加以优化的结构才能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件。即良好的认知结构才有利于在问题解决过程中信息的提取和运用。

Lawson和Chinnapan（1994）对愿意学习而成绩不佳者的问题解决行为进行了研究。他们采用考试后让学生自由回忆和提取回忆的方法，发现优生能够唤起大量的相关的知识并能有效地利用之，而学习困难生不仅唤起的知识量少而且也不能有效地利用之。即学习困难生的知识结构联系质量不高，或是某种联系建立得不够完善，没有联系的知识不能被激活，而联系微弱的知识不容易被激活，知识组织不良易导致问题解决的失败。而数学优秀生大多会自觉地、不断地建立知识之间的联系，使之在“内化”过程中成为一个有机的整体的、网状的或立体结构状的结构。例如，数学优秀生会把函数图像与x轴的相交与方程和不等式的解统一起来考虑，于是，解析式与图像、函数与方程、交点与解都成为同一研究对象的不同侧面，或不同表达方式，而不是不同的对象。