趣味哲学

悖论研究的三次高潮

　　悖论的存在与人们的思维、辩论，甚至是日常的语言交流、理论研究关系太密切了，并充满了对人类智慧的挑战，人们本能地被它吸引而迷惑。在人类文明发展史上，曾掀起了三次悖论研究高潮，第一次悖论研究的高潮出现在人类文明的轴心时代。在古希腊，除了其前面提到的说谎者悖论，还有“芝诺悖论”（包括：你不能达到运动的目标；阿基里斯追不上乌龟；飞矢不动；一倍的时间等于一半四个命题）、普罗泰戈拉（ Protagoras ）的“半费之讼”、麦加拉派的疑难（包括：有角者、秃头、谷堆、幕后的人、知道者怪论、狗父等几个命题），而在古代中国则出现了像邓析、惠施、公孙龙等悖论大师。邓析常持“两可知说”，其中一个著名的例子是“氵有水甚大，郑人富人有溺者，人得其尸者，富人请赎之，其人求金甚多，以告邓析。邓析曰：‘安之，人必莫之卖矣。'得尸者患之，以告邓析。邓析又告之曰：‘安之，此必无所更买矣'。”而惠施的“历物之意”多达十条，包括“天与地卑，山与泽平”、“日方中方睨，物方生方死”、“今日适越而昔来”等著名命题，公孙龙则以白马非马说名冠天下。

　　第二次悖论研究高潮发生在西方中世纪，虽然中世纪的逻辑学像其他许多学科一样被谴责表现出冗长乏味和繁琐无聊，但是，一些思想家们严密按照逻辑的要求构造出了许多的逻辑悖论并试图去解决它，为近现代提出悖论消解方案给予了很多启示。

　　第三次悖论研究高潮开始于上世纪初，它的缘起与数学的基础研究有密切的关系。在数学的发展史上曾发生过三次危机，而每一次危机都和悖论有关。第一次数学危机缘于公元前 5 世纪毕达哥拉斯悖论的提出。这次危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系，这是数学思想上的一次巨大革命！也是西方重视逻辑思维的一个重要渊源。第二次数学危机缘于贝克莱悖论。 18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础 —— 无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论，提出了无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理等问题？ 18 世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。直到 19 世纪 20 年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

　　第三次数学危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897 年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。 1902 年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于 1919 年给出的著名的 “ 理发师悖论 ” ，罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当时，大数学家弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第 2 卷末尾写道 ?quot; 一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地 " 。于是终结了近 12 年的刻苦钻研。承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

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