数学无穷思想的发展历程
引言
无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程
光辉的起点：数学无穷发展的萌芽时期
早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。
在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于 3.1415926 与 3.1415927 之间的领先国外上千年的惊人成果。
在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。
由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。
首创风波：芝诺悖论
虽说，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说，对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。
芝诺，公元前五世纪中叶古希腊哲学家。他提出的四个悖论虽是哲学命题。但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。这里仅举其悖论之一。
阿基里斯悖论：跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的 A 点，但甲到了 A 点，则乙已进到 A1 点，而当甲再到 A1 点，则乙又进到 A2 点，依次类推，直到无穷，两者距离虽越来越近，但甲永远在乙后面而追不上乙。
这显然违背人们常识的芝诺悖论，因与无限问题密切相连，就使得古希腊人对无穷有些望之却步静而远之了。同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。
芝诺悖论就这样一直困惑着人们，问题的症结何在呢？
崭新一页：微积分学的诞生
随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。
风波再起：贝克莱悖论
通往真理的路总是坎坷不平，布满了艰辛，探求无穷之径更绝非坦途。
十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。 1734 年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”就实际应用而言，它必须既是零，又不是零。而从形式逻辑角度而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论，动摇了人们对微积分正确性的信念，在当时数学界引起了一定混乱，从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。出路在何方？
发明的世纪：十八世纪
微积分产生后，一方面在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论，也就是说，正确的（尤其是在几何应用上是惊人的）结果却是通过肯定不正确的数学途径得出的。这把数学家们推到了尴尬境地。在对微积分的取舍上到底何去何从呢？
“向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起不顾一切奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。因而数学史家把这一时期称为发明的世纪。
光辉乐章的不和谐音
微积分产生之初，对基础不牢的指责，以及由此引发的争论，一直就是微积分学奏出的光辉乐章中的不谐和音。然而在十八世纪，它被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。经过数学发明的十八世纪后，数学建筑扩大了，房子盖得更高了，而基础却没有补充适当的强度。十八世纪粗糙的，不严密的工作导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。
无穷级数 S ＝ 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1 ………到底等于什么？
当时人们认为一方面 S ＝（ 1 － 1 ）＋（ 1 － 1 ）＋………＝ 0 ；另一方面， S ＝ 1 ＋（ 1 － 1 ）＋（ 1 － 1 ）＋………＝ 1 ，那么岂非 0 ＝ 1 ？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被的后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到后，令 = － 1 ，
得出 S ＝ 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1 ………＝ 1 ／ 2 ！
由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就民成为数学家们迫在眉睫的任务。
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