1-5 集合论悖论 “R 是所有不包含自身的集合的集合。 ”
人们同样会问: “R 包含不包含 R 自身? ” 如果不包含,由 R 的定义, R 应属于 R 。如果 R 包含自身的话, R 又不属于 R 。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后, 1931 年歌德尔 (KurtGodel , 1906-1978 ,捷克人 ) 提出了一个 “ 不完全定理 ” ,打破了十九世纪末数学家 “ 所有的数学体系都可以由逻辑推导出来 ” 的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如,欧氏几何中的 “ 平行线公理 ” ,对它的否定产生了几种非欧几何;罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
1-6 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?这个悖论与理发师悖论基本一致。
1-7 苏格拉底悖论
有 “ 西方孔子 ” 之称的雅典人苏格拉底 (Socrates ,公元前 470- 前 399) 是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “ 定义 ” 以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。
苏格拉底有一句名言: “ 我只知道一件事,那就是什么都不知道。 ” 这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子,那就是 “ 言尽悖 ” 。
1-7“ 言尽悖 ”
这是《庄子 · 齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果 “ 言尽悖 ” ,庄子的这个言难道就不悖吗?再看看我们常说的: “ 世界上没有绝对的真理 ” 。我们不知道这句话本身是不是 “ 绝对的真理 ” 。
1-8“ 荒谬的真实 ”
有字典给悖论下定义,说它是 “ 荒谬的真实 ” ,而这种矛盾修饰本身也是一种 “ 压缩的悖论 ” 。悖论 (paradox) 来自希腊语 “para+dokein” ,意思是 “ 多想一想 ” 。
这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。
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