( 二 ) 引进无限带来的悖论
《墨子 · 经说下》中有一句话： “ 南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。 ” 如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。
2-1 阿基里斯悖论
稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺 (ZenoofElea) ，曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。
阿基里斯 (Achilles) 是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
有人用物理语言描述这个问题说，在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为 S ，速度分别为 V1 和 V2 。当时间 T=S/(V1-V2) 时，阿基里斯就赶上了乌龟。
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为 T' 。对于任何 T' ，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个 T' 无法度量 T=S/(V1-V2) 以后的时间。
2-2 二分法悖论
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达 D ，它必须首先到达距离 D 的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了 D 。这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。
芝诺甚至认为： “ 不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有 ‘ 完善的无限 ' ，而这是不可能的。 ” 如果阿基里斯事实上在 T 时追上了乌龟，那么， “ 这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗 ” 。这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。
他认为： “ 穷尽无限是绝对不可能的 ” 。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运动佯谬： “ 飞矢不动 ” 。
2-3“ 飞矢不动 ”
在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法。
2-4“ 飞鸟之景，未尝动也 ”
这是中国名家惠施的命题，与 “ 飞矢不动 ” 同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。
德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为 “ 否定感官的悖论 ” 。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么 “ 不合逻辑 ” ？因为芝诺运用了 “ 无限 ” 这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。
尼采的结论
尼采说道：在这两个悖论里， “ 无限 ” 被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。
换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析：
假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念！
假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点！
假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念！
尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作 “ 永恒真理 ” ，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一性。
极限理论的诞生
事实上，这两个悖论中提到的这个 “ 动与不动 ” 的对立统一，今天都已经得到了完美的解决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论基础，出现了历史上的 “ 第二次数学危机 ” 。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。
可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官为 “ 欺骗 ” 。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。
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