2-5“ 一尺之捶,日取其半,万世不竭 ”
这是《庄子 · 天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。战国名家宋国人惠施
( 约公元前 370- 前 310) 曾任梁国的宰相,论辩奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。
惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现存与惠施有关的奇怪命题,例如,
“ 山与泽平 ” 、 “ 卵有毛 ” 、 “ 鸡三足 ” 、 “ 犬可以为牛 ” 、 “ 火不热 ” 、 “ 矩不方 ” 、
“ 白狗黑 ” 、 “ 孤驹未尝有母 ” 等,都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。
毛泽东的偏爱
毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。 一九六四年八月十八日
,他同哲学工作者谈话时说: “ 列宁讲过,凡事可分。举原子为例,不但原子可分,电子也可分。 ” 又说: “ 电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的。
‘ 一尺之捶,日取其半,万世不竭 ' ,这是个真理。不信,就试试看。如果有竭就没有科学了。 ”
有人注意到,毛泽东十分偏爱这句话,如五十年代中期对家钱三强,一九六四年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等等,都提到这句话。
2-6“ 1 厘米 线段内的点与太平洋面上的点一样多”
多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔
(1845-1918) 六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。由于无限,
1 厘米 长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都 “ 一样多 ” 。
然而,康托尔的 “ 无穷集合 ” 与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作
“ 可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。 ”
集合论的矛盾
同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论,以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是
“ 第三次数学危机 ” 。此后,数学家们进行了不懈地探讨。
例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》,这本书以罗素的《数学原理》
(1903) 为蓝本的,试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的 IF(Independence-FriendlyFirst-OrderLogic)
逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待。
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