小学数学学习心理学

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体来说，数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思维的载体，并以认识发现数学规律为目的一种思维。

数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征，同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于一般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的，具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。

数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。

数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。数学思维方法、思维模式的形成是数学思维概括水平的重要表现，概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深度、灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。

数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数学对象基本属性的准确把握。数学科学本身是具有统一性的，人们总是谋求新的概念、理论，把以往看来互不相关的东西统一在同一的理论体系中。数学思维的统一性，是就思维的宏观发展方向而言的，它总是越来越多地抛弃对象的具体属性，用统一的理论概括零散的事实。这样既便于简化研究，又能洞察到对象的本质。数学思维中对事物基本属性的把握，本质上源于数学中的公理化方法。这种整体性的思维方式对人们思考问题具有深远的影响。

创造性思维活动中发挥着重要作用。数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的比较、分析过程。数学中的相似表现有几何相似、关系相似、结构相似与实质相似、静态相似与动态相似等。数学思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求数学规律、发现数学结论的主导方法。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。因此，相似性是数学思维的一个重要特征。

数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。因此，问题性是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。这一特点在数学思维方面的表现比任何思维都要突出。因此， 80 年代世界数学教育将“问题解决”作为其主要任务是有道理的。

思维方式是内化于人脑中的世界观和方法论的理性认识方式，也是体现一定思维方法和一定思维内容的思维模式。因此，数学思维方式就是数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式。它是数学思维方法与数学思维形式的统一，并且通过一定的数学思维内容而得以体现。

数学思维方式的形成与数学思维关联系统的各种要素的相互作用有关。也就是说，数学思维方式的构成要素包括数学知识、数学观念、数学语言、个性品质、思维传统等。而由于数学思维形式和方法的多样性，数学思维方式的层次和类型也有各种不同的划分。从个体思维的角度分析，数学思维方式的层次是与个体思维发展的阶段相吻合的，按照层次逐渐提高的顺序是：直观动作思维—具体形象思维—抽象逻辑思维—动态辩证思维。

数学思维方式的类型可以从不同的角度进行划分。通常可以相对地分为单维型和多维型；封闭型和开放型；静态型和动态型等。评价某一思维方式归属于何种类型时必须结合思维的具体内容和结果做出判断，而不应绝对化地从思维方式本身的意义就简单地认为某一思维方式一定就是属于上述的某种类型。

单维型思维是指从单一角度出发，困于一个思维模式，运用一种逻辑规则、一个评价标准而展开的思维方式。它往往只有一个思维起点和单一的思维指向，认识朝着直线前进，容易产生片面性。多维型思维是指从多角度、多侧面对事物进行综合的、系统的思考。它具有多个思维起点、多个思维指向，能运用多种逻辑规则与多个评价标准去分析思维对象，从而能达到对事物较全面的整体性的认识，不仅看到事物之间的纵向联系，也能看到事物之间的横向联系，因此又称它为立体思维。

封闭型思维是指思维活动局限于固定程式和具有确定性结论或结果的思维方式。这种思维往往拘泥于一个方向，一种守则，表现为思维僵化、单调呆板，因而在对事物的认识方面也不会有所变革和突破，缺乏创造性。开放型思维则是不束缚于固定程式的，具有灵活多变的思维方法，从而能够获得多层次或创新、突破性结论的思维方式。这种思维往往表现为思路开阔、反应敏捷，善于变革，敢于创新，其适应性和应变能力均较强。

静态型思维是一种墨守成规的、机械式的思维方式。它较多地注意静态的平衡和固定的演绎，对考察的对象缺乏整体性的辩证分析，不能从动态的变化角度去把握有关事物的本质和规律。动态型思维是一种运用辩证观点处理问题、看待事物的思维方式。它能够灵活地运用已有知识，对有关事物展开联想、类比、归纳、猜想等，从动态的多因素的系统分析中去发现问题、解决问题，具有思维的发散性、多向性和开拓性，能够从事物的整体联系中去把握有关事物的本质和规律。

按照上述关于思维方式的层次和类型的划分及特征，我们可以得出下列结论：

（一）数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。

前面我们已经给出了上述三种思维活动形式的初步定义。下面进一步研究作为数学思维方式时的定义。

数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全）归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻辑地表达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性和清楚划分的思维过程为特征的。

数学形象思维是以数学的表象、直感、想象为基本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象性和想象性为主要特征，其思维过程带有整体思考、模糊判别的合情推理的倾向。

数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感两种独立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。它们以思维的跳跃性或突发性为主要特征。用阿达玛的话来说，“直觉”思维是以相当多的无意识“成分”，思维过程更分散、迅速和省略为特征的。

（二）数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。

集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。

发散思维则是具有多个思维指向、多种思维角度并能发现多种解答或结果的思维方式。在发散思维时，我们是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新远景，有时去追求多样性。因此，在看待集中思维时，需要看到它在某种程度上存在单维型、封闭型与静止型思维特点的一面。而发散思维则相对地较明显地具有多维型、开放型和动态型思维的特征。

（三）数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。

而创造性思维是与创造活动——与数学有关的发明、发现、创造等能产生新颖、独特，有社会或个人价值的精神或物质产品的活动——相联系的思维方式。创造性思维是再现性思维的发展，再现性思维是创造性思维的基础。创造性思维是一种开放型和动态型较强的思维活动，是人类心理非常复杂的高级思维过程，是一切创造活动的主要精神支柱。

在具体的数学思维过程中，数学形象思维和数学逻辑思维往往是交织在一起不能分开的。它们相互渗透、相互启发，并向立体思维转化，使思维的方向朝着不同的角度、不同的方面舒展开来，呈现出一种发散的多维型思维的特征，并进而使原来的思维向更高级的思维形式——辩证思维转化和升华。因此，立体思维（或多维型思维）是指逻辑思维与形象思维的结合，集中思维与发散思维的结合。立体思维是一种初级形式的辩证思维。当立体思维达到把握事物的理性具体、反映事物的矛盾运动及其关系，溶解了形式思维固定分明的界限，能从动态的、全面辩证的观点看待事物的本质和规律时，它就进入了辩证思维。