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绪 论 第一章 第二章
第一节 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 |
第三节 形成和发展数学能力的基本途径 提高学生的数学能力是数学教学的主要任务。下面我们分别来研究运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和解题能力培养的基本途径。 数学运算是数学科学的重要内容，运算能力主要是指逻辑思维能力与运算技能的结合，即不仅会根据法则正确地进行运算，而且要理解运算的算理；能够根据题目条件寻求简捷、合理的运算途径。它不能独立存在和发展，而是与观察力、记忆力、理解能力、推理能力、表达能力以及空间想象力等一般能力相互渗透、相互支撑形成一种综合性的数学能力。 运算能力是在实际运算中形成和发展，并在运算中得到表现。这种表现有两个方面：一是正确性；二是迅速性。正确是迅速的前提，没有正确的运算，迅速就没有实际内容；在确保正确的前提下，迅速才能反映运算的效率。运算能力的迅速性表现为准确、合理、简捷地选用最优的运算途径。培养学生的运算能力必须做好以下几个方面： （一）牢固地掌握概念、公式、法则 数学的概念、公式、法则是数学运算的依据。数学运算的实质，就是根据有关的运算定义，利用公式、法则从已知数据及算式推导出结果。在这个推理过程中，如果学生把概念、公式、法则遗忘或混淆不清，必然影响结果的正确性。学生运算能力差，普遍的表现为运算不正确即在运算中出现概念、法则等知识性的错误。 因此 , 在教学中要注意以下几点 : 1 ．在讲授新课时，应经过由具体到抽象，由感性到理性的过程，自然形成概念，导出公式、法则 , 弄清它的来龙去脉，明确条件是什么，结论是什么，在什么范围内使用，并通过课堂练习及时巩固，使之在学习头脑中树立起清晰的记忆。 2 ．在讲授概念、公式、法则时，要让学生在理解的基础上，用自己的话准确地表达出来，加深对公式、法则的理解和记忆，并与学生一道总结记忆概念、公式、法则的方法。对那些相关的概念、易混淆的公式、法则，可指导学生用同时对比或前后对比的“比较记忆法” ( 即找相同点、相异点来记 ) ，在比较的基础上，对识记的内容加工、整理、归类 , 然后分别采用“联想记忆法” ( 即把内容相近、相似、相反和有因果关系的内容联系起来记 ) 。“分类记忆法” ( 即把内容按性质、形状、特点、意义等分门别类地记忆 ) 这种记忆方法，可以收到事半功倍的效果。 3 ．及时回收教学效果的反馈信息，一旦发现典型错误，就应及时通过正反两方面的例子进行纠正，加深理解、强化记忆，使错误不再重现。 （二）掌握运算层次、技巧，培养迅速运算的能力 数学运算能力结构具有层次性的特点。在教学中，应该是一步一个脚印地走稳，一个层次一个层次地“夯实”打好基础，切不可轻视那些简单的、基础的运算。在每个层次中，还要注意运算程序的合理性。运算大多灵敏是有一定模式可循的，这有呆板的一面。但是，由于运算中选择的概念、公式、方法的不同，往往繁简各异，在这种意义上，又有它灵活的一面，往往由于运算方案不同，有的繁琐容易出错，有的简便合理，运算迅速正确。要做到运算迅速、正确，应从合理上下功夫。 数学运算只抓住了一般的运算规律还是不够的，必须进一步形成熟练的技能技巧。因为在运算中，概念、公式、法则的应用千变万化，对象十分复杂，没有熟练的技能技巧，常常出现可想而不可及的麻烦。 此外，要求学生掌握口算能力。运算过程的实质是推理，推理是从一个或几个已有的判断，做出一个新的判断的思维过程。运算的灵活性具体反映思维的灵活性：善于迅速地引起联想，善于自我调节，迅速及时地调整原有的思维过程。一些学生之所以在运算时采用较为繁琐的方法，主要是因为他们思考问题不灵活，不能随机应变，习惯于旧的套路，不善于根据实际问题的条件和结论，迅速及时地调整思维结构，选择出最恰当的运算方法。 （一）中小学生思维的特点 中小学生由于生理、心理和知识发展水平的局限，数学学习中思维活动水平的层次不高，因此从思维角度来看数学教学，无论是拓宽学生的思维空间、培养学生的良好的思维品质或是研究教学过程中信息受阻的原因等等 , 都必然涉及到这样一个重大课题，即中小学生数学思维的特点是什么？有哪些局限性？针对中小学生思维特点及局限性，如何发展学生的思维？中小学生思维水平很不稳定，可塑性很大，无论是观察、概括能力 , 还是推理论证能力都随年龄增长而发展并日臻成熟。分析中小学生数学思维的局限性，目的在于判明他们在学习过程中所暴露出来的弱点，归纳起来有如下几点： 1 ．中小学生求知欲较强，但由于年龄特征及知识发展水平的局限，学生具体形象思维的成分较重。 一是表现为直观思维，对具体、形象的问题 , 思维比较活跃，对抽象问题一旦找不到解释时，便犹豫迷惑、疑虑丛生，表现出理论型抽象思维能力贫乏无力； 二是习惯于思维模式，遇到一个问题，一味期望能套用某现成公式，得不出解答便束手无策，这是思维定势引起负迁移的极端情形，反映思维的变通性和应变能力的严重缺陷。 诸如此类问题，在学生中普遍存在。对于相关概念间的同一、从属、交叉、对立等关系混淆不清，生搬硬套机械应用，依赖于已知的模式，这是中小学生思维特点之一。 2 ．学习内容的理解呈孤立、间断状态。 主要表现在对概念、公式、定理等满足于形式上的理解、记忆，忽视其来龙去脉、知识串联，只重视其内涵，忽视其外延；对数量之间或形体之间的逻辑关系缺乏整体的认识；对各种数学思想和方法 ( 首先是通性通法 ) 之间的共性与个性缺乏了解，这就不可能在学习过程中逐步地建立和完善思维的整体结构。因而也就不可能在解决问题时，保证思维通道的顺畅。于是影响了对新知识的理解。思维不连贯、缺乏整体性是分析和解决问题能力低下的重要原因之一。 3 ．不能正确把握数学知识之间的因果关系，造成多步综合推理的困难。 相对地讲，这种情况对于初中小学生更为普遍，应更为严重。改进数学教学的一项重要任务就是要努力改变学生逻辑思维水平不高的状况，使数学思维的指向严谨、简练和规范。我们常见到初二学生在做平面几何题，高一学生做立体几何题时存在颠三倒四、繁杂重复、条理不清等现象，能力薄弱。因此，从初二开始进行严格的训练是必要的。 4 ．思考问题不善于从多角度、多方面、多维度去考虑，思维方向单一，思维惰性十分明显。 例如，初中一年级学习了幂的乘方法则之后，在计算时 , 许多学生仍要逐个累乘，却不知有事半功倍心算法。原因就在于课堂上下做的练习都是应用公式由左到右的变形，甚至到了高中，有的学生对于“比较 a+1 与 a 的大小”也视为难题。在一定程度上，也是这种“先天不足”的结果。 5 ．由于学生对概念、公式、法则和定理的片面理解和形式上的掌握，导致应用上的绝对化。 变通性是反映思维品质的一个重要方面 , 而排斥性恰好与之对应 , 在数学思维训练中 , 有目的地加强此类练习是非常必要的。 以上所列五种思维特点是中小学生在数学学习上的思维局限性，是青少年思维发展规律的组成部分。在教学中我们要有目的、有计划地针对学生的思维特点进行严格的思维训练，踏踏实实把工作贯穿到教学的全过程中去。 （二）培养逻辑思维能力的途径 1 ．重视数学概念教学，正确理解数学概念。 在数学教学中要定义新的概念，必须明确下定义的规则。譬如给一个图形下定义，应包含两个方面即 : ①经过描绘，指出能够把此图形与另一个图形区别开来的属性 ( 即特征 ) 。 ②选择一个表示它的名称。也就是说要揭示概念内涵列举概念的本质属性 ( 本质特征 ) ，揭露最邻近的种概念和类差。 所以在定义数学概念时，若用“种加类差”定义，必须找出该概念的最邻近种概念和类差，启发学生深刻理解。只有如此，定义才能牢固地掌握，不致使学生思维能力得不到充分发挥而陷入混淆的境地，也不致于在推理论证上由于对概念理解不全面而导致论证失败。 2 ．要重视逻辑初步知识的教学。 使学生掌握基本的逻辑方法。传统的数学教学通过大量的解题训练来培养逻辑思维能力，除一部分尖子学生外，对多数学生来说收效是不大的。正如 A.A 斯托利亚尔曾在《数学教育学》一书指出的 , “在数学教学中 , 一般都对教材的数学成分本身进行反复的解释并举例说明，以求消除学生理解这些教材的困难。而在发生困难的原因是由于没有理解教材的逻辑成分的情况下这样做，这样的试图是不成功的，因为没有消除不理解的原因。” 3 ．通过解题训练 , 培养学生的逻辑思维能力。 通过解题，加强逻辑思维训练，培养思维的严谨性，提高分析推理能力。要注意解题训练要有一个科学的系列，不能搞“题海战术”。 首先，要让学生熟悉演绎推理的基本模式——演绎三段论 ( 大前提——小前提——结论 ) 。由于演绎三段论是分析推理的基础，在六年级代数教学中就可以进行这方面的训练。在教授数或式的运算时，要求步步有据，教师在讲解例题时可以适当地示范批注理由。 在运算步骤中批注理由，是要求学生完成一步运算时 , 要明确“大前提”，这实质是完成一个“三段式演绎推理”。在这类批注理由训练的基础上，再利用代数恒等式的证明，初步养成逻辑推理的思维习惯，可以为学习几何证明打下良好的基础。 其次，初学平面几何要训练学生语言表达的准确性，严格按照三段论式进行基本的推理训练，并逐步过渡到通常使用的省略三段论式。经过这样的推理训练，学生在进行复杂的推理论证时，才能保持严谨的演绎思维序列，不致发生思维混乱。 |
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视频课堂第八章 |
第一节 数学能力 |
第三节 形成和发展数学能力的基本途径 一、运算能力的培养 二、逻辑思维能力的培养 三、空间想象能力的培养 四、解题能力的培养 |