小学数学学习心理学

我们知道，能力的核心是创造性思维，而创造性思维源于丰富的想象力。如何培养和发展学生的想象力，已成为当前重要科研课题之一。爱因斯坦指出 : “想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉，严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”对想象的科学研究是培养和发展创造力的基础和先导。

什么是想象呢？想象是指人们对记忆中的旧表象进行加工改造、重新组合，产生新的综合性形象的心理过程，是一种特殊的思维活动。它带有生动形象性和间接概括认识的特点。人们只有正确地理解一定数量和质量的表现，才能有一定广度和深度的想象。数学中的空间想象力是指对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的思维能力。学生空间概念差，主要表现为 : 一是不能将空间物体形态抽象为空间几何图形、不能用直观图表示出来；二是不能从给定的立体图形想象出实体形状、几何元素在空间的实际位置关系，从而不能正确解题。

在教学上，培养空间想象能力要求学生能逐步达到下面三个方面的要求：

1 ．对基本的几何图形 ( 平面与立体 ) 必须非常熟悉，能正确画图，能分析出基本图形的基本结构和度量关系。

2 ．根据题意想象出形体的形状、大小、内部结构，从而正确画出直观图。

3 ．根据给出的立体图形，想象出物体的真实形状，几何元素在空间的实际位置关系和度量关系，并能用语言符号或式子表达出来，从而正确解题。

感性材料 ( 表象 ) 是空间想象力形成和发展的基础，通过对教具与实物模型的观察、分析，使学生在头脑中形成空间图形的整体形象及实际位置关系，进而才能抽象为空间的几何图形。教学时若能联系周围的事物，则既可激发兴趣又可丰富感性知识。

2 ．准确地讲清概念、图形结构 , 是形成和发展空间想象力的基础。

“立体几何”是培养学生空间想象力的重要学科。立体几何第一章又是形成空间概念的关键。该章图形由直线和平面两个基本元素构成，把握住直线、平面间的基本结构，又是正确画图的关键，剖析该章图形的基本结构，不外乎平行结构、相交结构和异面结构，教材对直线、平面间的结构关系是用公共点的个数来定义的。例如 , “平行直线——在同一平面内没有公共点”，“如果一条直线和一个平面没有公共点 , 那么我们说这条直线和平面平行” , “直线和平面相交——有只有一个公共点”，“异面直线——不在同一个平面内 , 没有公共点”等。准确、形象地理解概念和掌握图形结构 , 有助于空间想象能力的形成和发展。

对初学立体几何者来讲，如何把自己想象中的空间图形体现在平面上是最困难的问题之一。所谓空间概念差，表现为画出的图形不富有立体感，不能表达出图形各部分的位置关系及度量关系。因此能否正确画出直观图，是学生空间概念的重要指标。教学时应注意以下几点 :

（ 1 ）教师画图一定要按照画图的法则，作出示范，使学生掌握画直观图的方法和要领。

通过几何教学进行空间想象力的训练，固然可以发展学生的空间想象的数学能力，但是，培养学生的空间想象力不只是几何的任务，而在数学的其它各个科中都可进行。

数学问题就是数学中的疑难和矛盾。按照这种说法，数学问题的重要性和广泛性是不言而喻的。按数学问题提出时的背景及问题本身对数学的影响，数学问题可分为两大类即常规问题和非常规问题。

所谓常规问题是指那些在已有理论框架内可以解决的问题。如教科书里的定理、公式及例题、习题都是常规问题。它的产生和解决可以起到使数学知识稳步增长的作用，具体表现为 : ①为形成数学理论积累资料；②完善现有理论体系；③提示数学理论间的内在联系 , 促使数学不断向整体化方向演进。

而非常规问题则是指按照原有理论框架已无法解决的问题‘它的解决常伴随着新方法、新理论、新思想的产生。我们在这里讨论的教学中的数学问题主要是常规问题。

教学中的数学问题按内容和解法的不同可分为运算题、证明题、作图题和应用题；按其在教学中的形式和作用可分为例题、练习题、复习题、提问题、思考题、讨论题、研究题、游戏题和竞赛题等。

数学问题的教学是培养学生基本能力，提高学生独立分析问题和解决问题以及创造能力的主要途径，也是学生加深巩固所有基础知识、启发学生积极思考的必要手段。

数学解题其实质是根据数学定义、定理、法则并使用适当的数学思想方法从题设推导出结果的过程。

现代著名数学家希尔伯特的一段话说出了解题的主要意义，他说 : “正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题，正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新的方法和新观点，达到更为广阔和自由的世界。”

解题不仅对数学研究是必需的，对学习者来说也是至关重要的。学习者可以在解题过程中不断获得新的思想方法、新的知识进而提高自己的理论修养。

当前，由于片面追求升学率等不良风气的影响，有相当的中学数学教师不去正面理解解题在教学中的意义，而是大搞“题海战术”，通过大量的经验性练习提高教学质量，这对培养人才素质的提高是极其有害的。对学生解题能力的高低，不能只按考试成绩的高低来区分。认为成绩好就是解题能力高，这是很严重的错误，是“高分低能”现象的重要根源之一。评价学生的能力应着重从以下几个方面来考查：①解题的正确程度；②解题的速度；③发现错误的多少及改正的速度；④一题多解的能力；⑤解题时所达到的抽象程度。

解题能力主要在解题过程中获得的，一个完整的数学解题过程可分为三个阶段。第一阶段是探索阶段；第二阶段是实施阶段；第三阶段是总结阶段。

在这个阶段主要是弄清问题、猜测结论、确定基本解题思路，从而形成初步方案的过程。具体的数学问题往往有很多条件，很多值得考虑的解题线索，很多可以利用的数量关系和已知的数学规律。在从众多条件、线索、关系中很快理出一个头绪，形成一个逻辑上严谨的解题思路的过程中，学生的思维能力便得到了训练和提高。

在教学中，教师应经常引导学生理清已学过知识之间的逻辑线索，练习由某种数量关系推演出另一种数量关系，进而把问题的条件、中间环节和答案连接起来，减少探索的盲目性。

具备猜测能力是获得数学发现的重要因素，也是解题所必不可少的条件。数学猜测是根据某些已知数学条件和数学原理对未知的量及其关系的似真推断。它具有一定的科学性，又有很大程度的假定性。在中学数学教学中进行数学猜测能力的训练，对于学生当前和长远的需要都是有好处的。

本阶段是验证探索阶段所确定的方案，最终实现方案，并判定阶段所形成的猜测的过程。这个过程实际上就是进行推理、运算、并用数学语言进行表述的过程。从一定意义上讲，数学可以看成一门证明的科学，其表现形式主要是严格的逻辑推理。因此，推理是实施阶段的基本手段，也是学生应具备的主要能力。推理、运算过程的表述就是运用数学符号、公式、语言刻画推理、运算的过程。表述的基本要求是准确、清晰、简洁，实现这些基本要求有下列主要手段。

广泛使用符号是数学的一大特点，正是借助于符号，使得数学概念的标记特别简洁、明了，从而保证了推理运算的有效进行。对符号的使用要符合统一性、一义性、记忆性的要求，即对那些已公认的符号如三角函数符号、四则运算符号等不能随意更改，以保证其统一性；也不允许用同一个符号代表两种不同对象，保持一义性，使用符号还必须有助于人们的记忆，如平行符号∥、垂直符号⊥等非常形象直观，易于记忆。

数学推理表现为命题之间按特定逻辑顺序的连接。因此，准确使用关联词是表述推理过程的必要步骤。数学推理中使用的主要关联词有“如果…，那么…”，“当且仅当”，“…并且…”，“…或…”，“任意”，“存在”，等等。对于这些关联词的含意必须准确把握，否则将会造成谬误。

数学语言是数学中为了方便和准确描述某个概念或判断专门使用的一种语言。它们成为数学推理中的一个片断。如“直线在平面内”，“一一对应”，极限中的“ε—δ”、“ε— N ”语言等等。正确使用数学语言可以消除自然语言表述中可能引起的混乱和歧义，使推理简洁，表述精确。

数学对象与数学现象具有客观存在的成分，它们之间有一事实上的关联，构成有机整体，数学命题是这些意念的组合。因此，数学证明作为展示前提和结论之间的必然的逻辑联系的思维过程，不仅仅是证实，在数学学习过程中更重要的是理解。从这一观点出发，我们推崇解题后的再探索。正如波利亚所强调的，如果认为解完就万事大吉，那么“他们就错过了解题的一个重要而有益处的方面”，这个方面称为总结阶段。在这个阶段通常必须进一步思考解法是否最简捷，是否具有普遍意义，问题的结论能否引申发展。进行这种再探索的基本手段是抽象、概括和推广。