小学数学学习心理学

在日常生活、学习和工作中，人们经常要对各种各样的事物进行判断，判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。判断是“对事物的情况有所断定的思维形式”（《辞海》 1999 年版第 521 页）。“由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式”，叫做推理。“推理有演绎推理、归纳推理、类比推理等”（《辞海》 1999 年版第 1986 页）。

随着科学技术空前迅速的发展，人类进入了 21 世纪。人们面对纷繁复杂的信息经常需要作出选择和判断，进而进行推理、作出决策。这对事情的成败、人的成长和发展都起着重要的作用。因而，义务教育阶段“数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的……推理能力”（《标准》第 4 页）。

《标准》中指出：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。演绎推理（亦称”演绎法”）的前提和结论间具有蕴涵关系，是必然性推理。演绎推理的主要形式是三段论。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理的主要形式是归纳推理和类比推理。

数学对发展推理能力的作用，人们早已认同并深信不疑。但是，长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式，发展学生的演绎推理能力，忽视了合情推理能力的培养。应当指出：数学不仅需要演绎推理，同样、甚至有时更需要合情推理。科学结论（包括数学的定理、法则、公式…等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……，即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误。演绎推理和合情推理是既不相同又相辅相成的两种推理。

《标准》对推理能力的主要表现作了如下的阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。这就是说，学生获得数学结论应当经历合情推理——演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现”，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。当然，由合情推理得到的猜想常常需要证实，这就要通过演绎推理给出证明或举出反例，《标准》中对一些公式、法则、定理的证明，也规定了相应的论证的要求。

“能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据”。无论在合情推理或演绎推理的过程中，思考者常常自己使用残缺不全、不连贯、具有高度情镜性的语言，要把这种“内部语言”转化为外部语言，必须理请思考过程中每一个判断的理由和依据，使思考过程变得清晰而有条理，从而才能言之有理、落笔有据地表达。这里的表达，包括口头语言和书面语言两种形式；以及学生用自己的语言表达和用数学的语言表达这样两个层次。

“在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑”。用数学的语言与他人进行交流、讨论、质疑的前提，是每个人都能清晰、有条理地表达自己的思考过程。这里，“用数学语言合乎逻辑”的表达是重要的，因为只有这样，才能确保讨论者有共同的语言和“规则”。质疑则是学生经过自己的分析、判断，对已有结论 ( 自己的或他人的 ) 的正确性提出疑问的理性思考，合乎逻辑的质疑是推理能力发展的更高级的阶段。

以往，人们在研究数学教学中发展学生推理能力时，往往首先想到几何教学。事实上，数学的各个分支都充满了推理——合情推理和演绎推理。应当认识到：几何为学习论证推理提供了素材，几何教学是发展学生推理能力的一种途径，但决不是唯一的素材和途径。数学教学中发展学生推理能力的载体，不仅是几何，而且广泛地存在于“数与代数”、“概率与统计”和“实践和综合应用”之中。只有这样，才能使几何教学目标更加全面，才能进一步拓宽发展学生推理能力的空间。

《标准》中对义务教育阶段学生应具有的推理能力提出了明确的要求，如何实现这些要求，达到培养学生的推理能力的目标呢？

能力的发展决不等同于知识与技能的获得。能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因而教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。任何试图把能力“传授”给学生，试图把能力培养“毕其功于一役”的做法，都不可能真正取得好的效果。

例如，“平方差公式”的教学可设置如下的问题串（见《标准》第 93 — 94 页）：

④ 从以上的过程中，你发现了什么规律，你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？

在这样的过程中，学生从对具体算式的观察、比较中，通过合情推理（归纳）提出猜想；进而用数学符号表达——若 a × a = m ，则（ a- 1 ）×（ a +1 ） = m –1 ；然后用多项式乘法法则证明猜想是正确的。

又如，“对顶角相等”的教学，可组织学生开展如下活动（见《标准》第 83 页）

OA 与 OA ′， OB 与 OB ′是一条直线；∠ AOB 与∠ A ′ OB ′是对顶角；通过具体的数值计算就能提出∠ AOB= ∠ A ′ OB ′的猜想——对顶角相等；若应用“同角的补角相等”，即可证明这个结论。