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绪 论 第一章 第二章
第一节 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 |
第二节 符号感及其培养 符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。学校数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。 《标准》强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。” （一）能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示 引进字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔指出“代数开始的典型特征是文字演算”。“字母作为数学符号有两种作用。首先，字母可作为专用名词，如 用符号来表示具体情境中的数量关系，也象普通的语言一样，首先需要引进基本的字母，在数学语言中，象数字以及表示数的字母，点的字母， 从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。 从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，初学时学生往往会感到困难，或者是形式主义地死记硬背，而不理解其意义。要尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字母表示数的意义。 1. 用字母表示运算法则、运算律以及计算公式 这种一般化是基于算法的、常常开始于小学算术中对数的运算。算法的一般化，深化和发展了对数的知识。 如加法交换律： a+b= b+a ；乘法结合律：（ ab ） c= a （ bc ）；两数和的平方公式： 代数中用字母表示数，把人们关于数的知识上升到更一般化的水平，使得算术中关于数的理论有了一般化、普遍化的意义，是从算术的实际向代数的抽象的一个飞跃。用符号表示数也是学生学习一般化、形式化地认识和表示研究对象的开始。 2. 用字母可以表示现实世界和各门学科中的各种数量关系，例如，每千克 a 元的白糖， b 千克的价格是 ab 元；匀速运动中的速度 v 、时间 t 和路程 s 的关系： s=vt ；三角形的面积公式 3. 用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表示出来，从而进一步用数学知识去解决问题。 例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的数量相等关系列出方程；我们用字母（例如 x ， y ）表示某一变化过程中相关的两个变量，利用问题条件给出的变量间的相互关系，列出函数表达式等等。 对于《标准》所说的“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”，我们作如下说明： （ 1 ）这种表示常常开始于探索和发现规律和进行归纳推理，然后用代数式一般化地将它们表示出来。 例如问题：搭一个正方形需要 4 根火柴棒，（Ⅰ）按照图中的方式，搭两个正方形需要几根火柴棒？搭三个正方形需要几根火柴棒呢？
（Ⅱ）搭 10 个这样的正方形需要多少根火柴棒？ （Ⅲ）搭 100 个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？ （Ⅳ）如果用 在搭 2 个、 3 个、甚至 10 个正方形时，学生们可能会具体数一数火柴棒的根数，但当搭 100 个时，学生们就需要探索正方形的个数与火柴棒的根数之间的关系，发现火柴棒数的变化规律。规律是一般性的，需要用字母进行表示。 根据不同的算法，学生可能得到下列四种形式不同的表达式： 4+3 （ （ 2 ）用字母表示的关系或规律通常被用于计算（或预测）某一未在数据中给出的、或不易直观得到的值，如上述问题中，当 （ 3 ）用字母表示的关系或规律通常也可用于判断或证明某一个结论。 如下面的月历，你知道兰色方框中 9 个数的和是多少吗？你能推断出一个计算任意这样方框中 9 个数的和的一般方法吗？
兰色方框中 9 个数的和是 135 ，如果我们用 a 表示方框中间的数，则方框中的数可以表示为：
很显然，这 9 个数的和等于 9a ．因此我们判断任意一个这样方框中的 9 个数的和都是中间数的 9 倍。 用代数式表示是由特殊到一般的过程，而由代数式求值和利用数学公式求值是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示的意义。 这里顺便想说在用字母表示的过程中，学生往往会感到一些困惑，如弗赖登塔尔指出的：“如果字母作为一个数的不确定名词，那又为什么要用这么多 a,b,c ，…其实，这就象我们讲到这个人和那个人一样，学生不理解 a 怎么能等于 b ，你可以告诉他‘实际上， a 与 b 不一定相等，但也可能偶然相等，就象我想象中的人恰好与你想象中的人相同'。最本质的一点是要使学生知道字母表示某些东西，不同的字母或表达式可表示相同的东西。” [1] 王长沛 教授在北京石油附中所做的案例分析“ a 是什么？”中，也谈到了类似的问题和进一步的问题，如有的学生对字母直接赋值，有的学生把字母看成具体事物，有的学生把字母看成是未知数，也就是“没有的数”，有的学生把字母看成可以取不同值的广义数等。 字母和表达式在不同的场合有不同的意义，如： 例 1： 例 2： 例 3： 例 4： 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程，一般化超越了具体实际问题的情景，深刻地揭示和指明存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。一般化和符号化对数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程。 |
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是个完全确定的数，或用 A 表示两直线交点。显然特定集合需要使用标准的专用名词，如 Z ， N 。其次，字母可作为不确定的名词，就象日常生活中的‘人'，可以表示所有的人”。 
，
，
， 
， 
等表示运算的符号，
、 
、 
、
、 
等表示关系的符号等等，这是用数学语言刻画各种现实问题的基础。 
等。在这里，字母 a ， b ， c 表示任意的实数。 
等等。 
表示所搭正方形的个数，那么搭 
表示 
表示变量之间的关系， 
表示一个一般化的算法，表示一个恒等式； 
表示计算矩形面积的公式，如果 a 和 b 分别表示矩形的长和宽， s 表示矩形的面积，同时也表示矩形面积随长和宽的变化而变化的关系。 
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