小学数学学习心理学

1. 使学生在现实情境中理解符号表示的意义和能解释代数式的意义

如代数式 6p 可以表示什么？学生可以解释为：如果 p 表示正六边形的边长， 6p 可以表示正六边形的周长；如果 p 表示一本书的价格， 6p 可以表示 6 本书的价格； 6p 也可以表示一张光盘的价格是一本书的价格的 6 倍；如果 1 个长凳可以坐 6 个小朋友， 6p 表示 p 个长凳可以坐 6p 个小朋友等。

用一张正方形的纸，利用在它的四个角分别剪去一个小正方形的方法制成一个无盖长方体，怎样才能使制成的无盖长方体的容积尽可能大？

假设用边长为 20cm 的正方形纸，剪去的小正方形的边长依次为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？

小正方形的边长	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
无盖长方体的容积	324	512	588	576	500	384	252	128	30	0

通过表格，我们看到当小正方形的边长为 3 时，无盖长方体的容积最大。

小正方形的边长	2.5	3	3.5
无盖长方体的容积	562.5	588	591.5

这时得到当小正方形的边长为 3.5 时，无盖长方体的容积最大。我们还可以把表格在小正方形的边长取 3 到 3.5 之间进行细化，总之我们可以根据所要得到的精确度继续上述过程，直到满意为止。

（Ⅱ）根据表格中的数据画图，把用表格表示的关系用图象进行表示：

仍设这张正方形纸的边长为 a ，所折无盖长方体的高为 h ，则无盖长方体的容积 v 与 h 的关系是：

。

会用符号进行表示，也就是会把实际问题中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做符号化。符号化的问题已经转化为数学问题，随后就是进行符号运用和推理，最后得到结果。这就是数学建模的思想，事实上，我们所熟悉的方程和函数都是某种问题的数学模型。

3. 能从关系式、表格、图象所表示的变量之间的关系中，获取所需信息。

如从表格获取信息，下面是我国从 1949 年到 1999 年的人口统计数据（精确到 0.01 亿）：

时间 / 年	1949	1959	1969	1979	1989	1999
人口 / 亿	5.42	6.72	8.07	9.75	11.07	12.59

（Ⅰ）表格中的数据表示了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（Ⅱ）根据统计表的数据，预测一下我国 2009 年人口的总数，并说明为什么。

学生不仅要能获得 1949 年到 1999 年的人口统计数据，而且要能分析每隔 10 年人口变化的趋势，从而初步地做出一些预测。

又如从图象获取信息 , 下面是汽车运动的速度和时间的关系图 :

（Ⅱ）在最初的 15 分中，汽车速度的变化有什么特点？在开出后的第 15 分钟，汽车的速度是多少？

（Ⅲ）在以后的 15 分中，汽车速度的变化可以怎样描述？在第 30 分钟时，汽车的速度是多少？

（Ⅳ）在最后的 10 分中，汽车速度的变化有什么特点？在第 40 分钟时，汽车的速度是多少？

学生应该能够用语言正确地描述图象所表示的关系，从图中获得以上问题的答案

这里所说的符号间的转换，主要指表示变量之间关系的表格法、解析式法、图象法和语言表示之间的转换。

用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效的获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，因此多种表示的方法不仅可以加强概念的理解，也是解决问题的重要策略。“从数学学习心理的角度看，不同的思维形式，它们之间的转换及其表达方式是数学学习的核心。” [4] 能把变量之间关系表示的一种形式转换为另一种方式，也就是能在四种表示形式之间进行转换，构成数学学习过程中的重要方面。

如某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时主要依据的是下面表格中的数据：

鸡的重量 / 千克	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
烤制时间 / 分	40	60	80	100	120	140	160	180

利用表格我们可以直接地看到鸡的重量和需要的烤制时间，但是如果我们恰好需要烤制 3.2 千克的鸡，我们就需要把表格表示的关系转化为代数式表示。

根据 w 每增加 0.5 ， t 增加 20 ，可知道 t 和 w 之间的关系是线性关系，斜率是 20/0.5=40 。

假设关系式是 t=40w ，则 w=0.5 时， t=20 ，与实际情况 t=40 不符；

假设关系式是 t=40w+20 ，检验后符合问题情况，因此鸡的重量 w 与烤制时间 t 的关系式为： t=40w+20 ．

利用关系式我们可以方便地求出表格中没有给出的数值，如当 w=3.2 时，所需时间为

不论是从表格还是关系式，我们都可以容易地转化为图象表示。图象对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，图象表示以其直观性有着其它的表示方式所不能替代的作用，图象是将关系式和数据转化为几何形式，因此，图象是“看见”相应的关系和变化情况的途经之一。

这四种表示之间是互相联系的，一种表示的改变会影响到另一种表示的改变。

解决问题的第一步是将问题进行表示，也就是进行符号化。然后就是选择算法，进行符号运算。如果说第一步是把实际问题转化为数学问题，即数学化，这第二步就是在数学内部的推理、运算等。算法的选择是一个十分重要的问题，比如我们已经将一个实际问题表示为一个一元二次方程，然后根据方程我们选择用因式分解法去解它等。会进行符号运算也是十分重要的。

数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦达（ Fracois Viete ， 1540—1603 ），由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生重大变革。在这以后的 100 年之中，几乎所有初等数学和微积分背后的想法都被发现了。没有符号化的代数，就没有高层次的数学数量科学，从而也就没有现代技术和现代科学的发展。

用符号进行表示是我们的文明所发展的最强有力的工具之一，我们课程的任务就是使学生感受和拥有这种能力，掌握和运用这个工具。

要尽可能在实际的问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感。在教材编写与教学中，对符号演算的处理尽量避免让学生机械地练习和记忆，而是应增加实际背景、探索过程、几何解释等以帮助学生理解。

如果说代数是一种语言的话，则数字和字母就是这种语言的“字母”，表达式就是这种语言的“词”，关系式如等式、不等式就是这种语言的“句子”。既然是语言，就会有相应的语法，代数的语法就是各种符号演算的法则和规定等。只有学习、熟悉、掌握代数这种语言的语法，才能利用代数这种语言进行推理、计算、交流和解决问题。

《标准》认为必须要对符号运算进行训练，要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算。但是并不主张进行过多、过繁琐的形式运算的训练。